Abbildungen

Neue Frage »

L1sa Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen
Hallo liebes Matheboard,
ich hoffe Ihr könnt mir hier weiterhelfen.

Aufgabe:

Gegeben sind drei nichtleere Mengen und die beiden Abbildungen und

Nun soll ich einige Aussagen beweisen oder widerlegen ( durch ein Gegenbeispiel ).

1. Sind f und g surjektiv, so auch gf.

Ansatz:

Surjektivität bedeutet ja das jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild besitzt, bzw. jedem Element des Wertebereichs wird mindestens ein Element aus dem Definitionsbereich zugewiesen.

Nun verstehe ich die Aussage nicht.
Was soll gf bedeuten? Sind die Funktionen verkettet?

Und bedeutet "Sind f und g surjektiv", dass f und g für sich betrachtet surjektiv sind, oder stehen die beiden in irgendeiner Verbindung/Beziehung.

mfG
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von L1sa
Nun verstehe ich die Aussage nicht.
Was soll gf bedeuten? Sind die Funktionen verkettet?

Darauf würde ich wetten. Steht bei dir wirklich einfach nur gf? Oder vielleicht sowas wie ?

Zitat:
Original von L1sa
Und bedeutet "Sind f und g surjektiv", dass f und g für sich betrachtet surjektiv sind, oder stehen die beiden in irgendeiner Verbindung/Beziehung.

f und g sind erstmal zwei voneinander vollkommen unabhängige Abbildungen, die aber eben beide surjektiv sein sollen. Es gilt natürlich nur zu beachten, dass die Zielmenge von f dem Definitionsbereich von g entsprechen muss, damit man die Komposition überhaupt sinnvoll definieren kann. Aber das ist hier ja gegeben. f bildet nach B ab und g bildet von B ab.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Hallo und danke, dass du mir hilfst Mulder.

Zitat:
Darauf würde ich wetten. Steht bei dir wirklich einfach nur gf? Oder vielleicht sowas wie ?


Es steht wirklich nur gf da, aber es soll das gleiche wie sein.
Also Verkettung, du hattest Recht.

Zitat:
Es gilt natürlich nur zu beachten, dass die Zielmenge von f dem Definitionsbereich von g entsprechen muss, damit man die Komposition überhaupt sinnvoll definieren kann.


Kannst du mir bitte noch einmal erklären, warum man sich die Zielmenge von f und den Definitionsbereich von g anschauen muss?

Ich kann mir das noch nicht denken/vorstellen, warum das sinnvoll ist.

Vielen Dank smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Ich kann mir das noch nicht denken/vorstellen, warum das sinnvoll ist.

Naja, die Abbildung g "holt" sich doch die Elemente aus der Zielmenge von f. Die Verkettung gf ist doch gerade sowas:





Die Abbildung f schickt Elemente von A nach B und g schickt sie dann von B weiter nach C. Das ist doch mit Komposition ("Hintereinanderausführung") gemeint. Ich meine, wie soll denn g(f(x)) aussehen, wenn f(x) gar nicht im Definitionsbereich von g liegt? Würde ja keinen Sinn machen.

Wie schaut's denn aus? Hast du schon eine Vermutung, ob die Aussage wahr oder falsch ist?
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Okay, ich denke jetzt habe ich das verstanden, danke.

Meine Vermutung ist, dass die Aussage wahr ist.

Ich habe mir dazu ein paar Skizzen gemacht und mir ist aufgefallen, dass
die Urbildmenge bei Surjektivität größer oder gleich der Zielmenge sein muss, oder?

Also irgendwie muss ich das doch auch beweisen..

Mein Ansatz:





Und deswegen gilt auch:

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Ich habe mir dazu ein paar Skizzen gemacht und mir ist aufgefallen, dass
die Urbildmenge bei Surjektivität größer oder gleich der Zielmenge sein muss, oder?

Die Mächtigkeit der Urbildmenge muss größergleich der Mächtigkeit der Zielmenge sein. Im Falle von endlichen Mengen bedeutet das eben, dass in der Urbildmenge mehr Elemente sein müssen als in der Zielmenge. Aber bei Mengen mit unendlich vielen Elementen ist es etwas problematisch, von "mehr oder weniger" zu schreiben. Augenzwinkern

Aber wir wollen hier ja auch gar nicht mit Mächtigkeit argumentieren. Wir haben zwei Abbildungen f,g gegeben. Die sind beide surjektiv. Nun wollen wir prüfen, ob auch die Verkettung wieder surjektiv ist.

Du kannst da einfach mit der Definition von Surjektivität arbeiten. Seien also



beide surjektiv.

Wie schaut es nun mit



aus? Du musst zeigen, dass es für jedes ein gibt, so dass



ist. Ist eigentlich ganz einfach. Benutze, dass f und g surjektiv sind.
 
 
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Wenn f und g surjektiv sind, heißt das, dass es für jedes
ein gibt
und für jedes ein .
Dann muss es für jedes ein geben, weil..... den Teil kann ich jetzt nicht erklären unglücklich
Bei meinen Skizzen ist die Anzahl der Pfeile gleich, aber damit soll ich ja nicht argumentieren.

Irgendwie erscheint es mir auch logisch, aber ich kann es einfach nicht erklären..
Kannst du mir bitte helfen, Mulder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Wenn f und g surjektiv sind, heißt das, dass es für jedes
ein gibt
und für jedes ein .
Dann muss es für jedes ein geben,

Im Prinzip ist es das ja schon.

Also: g ist surjektiv, also gibt es für jedes c aus C ein b aus B, so dass g(b)=c ist.

Nun ist aber auch f surjektiv, als gibt es für dieses b auf jeden Fall auch ein a aus A, so dass f(a)=b ist.

Also gibt es ein a aus A, so dass g(f(a))=c ist.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Ahh, danke!
g(b) = c, f(a) = b und g(f(a)) = c hat sehr geholfen, ich glaube jetzt kann ich die nächste alleine probieren.

2. Falls gf surjektiv, muss f surjektiv sein.

Wenn g( f(a) ) = c gilt (also gf surjektiv), dann muss f(a) = b sein ( also f surjektiv).
Reicht das als Erklärung?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Wenn g( f(a) ) = c gilt (also gf surjektiv), dann muss f(a) = b sein ( also f surjektiv).
Reicht das als Erklärung?

Nein, ist sogar falsch. f muss gar nicht surjektiv sein.

Versuch mal, dir ein Gegenbeispiel zu überlegen.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Aber wenn gf surjektiv ist, bedeutet es: g(f(a)) = c

Und das ist doch nur erfüllt, wenn f(a) = b ist.

und f(a) = b, bedeutet doch Surjektivität.

Jedes bestitzt ein .

Oder willst du darauf hinaus, dass f auch bijektiv sein könnte?

Und was bedeutet Gegenbeispiel?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Aber wenn gf surjektiv ist, bedeutet es: g(f(a)) = c

Und das ist doch nur erfüllt, wenn f(a) = b ist.

und f(a) = b, bedeutet doch Surjektivität.

Jedes bestitzt ein .

Das ist alles total schwammig aufgeschrieben, da steige ich ehrlich gesagt kaum durch. Wir haben hier doch ganz andere Voraussetzungen, wir wissen nur, dass g°f surjektiv ist. Über f und g für sich genommen wissen wir (noch) gar nichts.

Zitat:
Original von Lisa88
Oder willst du darauf hinaus, dass f auch bijektiv sein könnte?

Nein, ich habe doch gesagt, f muss nicht surjektiv sein. Wenn f nicht surjektiv ist, kann f doch erst recht nicht bijektiv sein.

Wie gesagt: Such nach einem Gegenbeispiel. Du kannst dafür auch gaaaaanz einfache Mengen nehmen, Mengen, die nur ein oder zwei Elemente enthalten, reichen schon.

Edit: Na, was bedeutet wohl Gegenbeispiel? Ein Beispiel, das die Aussage widerlegt. Such also konkret zwei Abbildungen f,g so dass g°f surjektiv ist, f aber nicht.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Okay, tut mir Leid für Blödsinn den ich geschrieben habe.

Also ich glaube das hier ist ein Gegenbeispiel:

Die Menge A besitzt ein Element, die Menge B zwei und die Menge C wieder nur eins.

Das heißt st surjektiv, also die Verkettung gf.

Und , also f kann nicht surjektiv sein.

Also reicht es, wenn ich nur die Skizze und einen Satz als Antwort abgebe?

[attach]26493[/attach]

f ist nicht surjektiv, gf ist es aber.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Ja, genau so eine Abbildung hatte ich mir hier auch gebastelt. Anstatt einer Skizze kannst du die Abbildungen ja auch ganz konkret gestalten. Ich hatte das so überlegt:





Die Komposition g°f schickt jetzt einfach nur die 1 auf die 1, sonst nichts. Sie ist also surjektiv (sogar bijektiv).



Ich könnte mir vorstellen, dass du noch eine weitere Aufgabe auf deinem Zettel hast, wo du diese Abbildungen ebenfalls verwenden kannst. Augenzwinkern
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Okay, super vielen Dank, Mulder smile

Also die nächste ist:

Wenn gf injektiv, muss f injektiv sein.

Ansatz:

Zitat:
Ich könnte mir vorstellen, dass du noch eine weitere Aufgabe auf deinem Zettel hast, wo du diese Abbildungen ebenfalls verwenden kannst.


Ich glaube du hast recht smile

Also ich hätte einfach deinen Text geschrieben:





Die Komposition g°f schickt jetzt einfach nur die 1 auf die 1, sonst nichts. Sie ist also injektiv (sogar bijektiv).



Richtig?

Eine zweite Frage habe ich noch an dich Mulder.

Zu Aufgabe 1 haben wir das ja eher wörtlich gelöst, in der Vorlesung wurde das aber irgendwie so gemacht:

[attach]26494[/attach]

Ich verstehe das aber überhaupt nicht.
Reicht es, wenn da beweisen steht, dass man es so macht, wie wir es gemacht haben?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Also ich hätte einfach deinen Text geschrieben:





Die Komposition g°f schickt jetzt einfach nur die 1 auf die 1, sonst nichts. Sie ist also injektiv (sogar bijektiv).



Richtig?

Nein, völlig falsch. Was genau wolltest du jetzt überhaupt machen? Die Aussage beweisen, oder widerlegen? Das macht irgendwie alles keinen Sinn. Einerseits reicht ein einzelnes Beispiel nicht aus, um die Aussage allgemein zu beweisen. Und andererseits taugt dieses Beispiel auch nicht zum Widerlegen, weil das f in diesem Beispiel ja durchaus injektiv ist.

Also nochmal ein bisschen nachdenken.

Zitat:
Original von Lisa88
Eine zweite Frage habe ich noch an dich Mulder.

Zu Aufgabe 1 haben wir das ja eher wörtlich gelöst, in der Vorlesung wurde das aber irgendwie so gemacht:

[attach]26494[/attach]

Ich verstehe das aber überhaupt nicht.

Die machen da doch genau das gleiche, was wir auch machen. Nur ein bisschen anders formuliert.

Ob man nun sagt, dass , oder ob man sagt: ... das sind doch völlig identische Aussagen.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Ich wollte die Aussage beweisen.

gf ist nur injektiv, wenn f auch injektiv ist.

Aber ein Beispiel reicht wohl nicht zum Beweisen.

Ich glaube ich bin überfordert.
Damals haben wir in der Schule nie etwas bewiesen. Nur etwas in Formeln eingesetzt.
Und jetzt wollen die schon gleich am Anfang des Studiums nur Beweise..

Wie kann ich so etwas lernen?
unglücklich unglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Ich wollte die Aussage beweisen.

gf ist nur injektiv, wenn f auch injektiv ist.

Aber ein Beispiel reicht wohl nicht zum Beweisen.

So ist es. Nur weil das für eine einzelne Abbildung so gilt, muss das ja noch lange nicht heißen, dass das für ALLE gilt. Aber genau das wollen wir beweisen.

Zitat:
Original von Lisa88
Ich glaube ich bin überfordert.
Damals haben wir in der Schule nie etwas bewiesen. Nur etwas in Formeln eingesetzt.
Und jetzt wollen die schon gleich am Anfang des Studiums nur Beweise..

Nun steck mal nicht gleich den Kopf in den Sand. Denkst du denn, du bist allein mit diesen Problemen? Ging mir früher doch auch nicht anders. Und natürlich müsst ihr das Beweisen üben, das werdet ihr auch weiterhin machen. Und um das zu üben, sind doch diese Übungsaufgaben da! Darum heißen die doch auch Übungsaufgaben.

Aber ich möchte jetzt eigentlich auch nicht Kummerkasten spielen. Augenzwinkern Ich würde lieber weiter machen. Immerhin: Damit, dass du die Aussage beweisen willst, bist du ja schon mal auf der richtigen Fährte. Denn ja: Die Aussage ist wahr.

Sei also injektiv. Das heißt:



Wir wollen zeigen: ist injektiv. Zu beweisen ist also:



Und das ist nun wirklich total einfach.

Sei also . Jetzt benutze die Abbildung g.

Das ist alles nur banales Hinschreiben, gar nicht denken. Du solltest dir das immer alles erstmal sauber hinschreiben, was du gegeben hast und was das bedeutet. Also so, wie ich es jetzt gemacht habe. Das war schon 90% der ganzen Aufgabe. Und das völlig ohne Denkarbeit, nur Definitionen abschreiben.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Danke, für die Motivation. smile


Sei f(a) = f(b).





... richtig? Erstaunt2

Wenn ich die Aufgaben bis jetzt noch einmal Revue passieren lasse, dann muss ich sagen:

Zu 1:

Soweit verstanden, nur habe ich das mit Worten bewiesen und würde das gerne noch einmal ganz mathematisch machen, so wie du schon einmal geschrieben hattest
Zitat:
Ob man nun sagt, dass , oder ob man sagt: ... das sind doch völlig identische Aussagen.
Weil diese ganze mathematische Notation noch so fremd für mich ist und mein Abi 5 Jahre her ist.


Zu 2:

Da fand ich es sehr schön, dass man durch so ein einfaches Gegenbeispiel die Aufgabe lösen kann. Und das habe ich auch verstanden.

Zu 3:

Habe ich jetzt verstanden. Ist wie du gesagt hast, erstmal plump nur die Definitionen aufschreiben. Aber auch wenn es so "einfach" war bin ich nicht draufgekommen unglücklich

Zu 4:

Momentan kann ich so langsam die Lösungen der Aufgaben nachvollziehen, sobald aber wieder eine neue Aufgabe kommt, stehe ich immer lange auf dem Schlauch.

Wie z.B. hier:

4. Sind f und g bijektiv, so auch gf. Für die Umkehrfunktion von gf gilt zudem:


Mit Bijektivität hatten wir ja bis jetzt fast gar nichts zu tun.
Also Bijektivität ist vorhanden, wenn die Abbildung surjektiv und bijektiv zugleich ist.

Aber jetzt verwirrt es mich etwas, dass nun zwei Sachen gleichzeitig gelten müssen. Wir bringe ich das in eine Gleichung..

Oder reicht es wenn ich sage auf gf bezogen muss es für jedes genau ein geben mit g(f(a)) = c geben, weil da Injektivität und Surjektivität drin ist.. verwirrt

Aber wie schreibe ich das mathematisch auf?
Gibt es ein Symbol für "genau ein"?

Bis hier schon einmal ein ganz großes liebes dankeschön smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Danke, für die Motivation. smile


Sei f(a) = f(b).





... richtig? Erstaunt2

Ja, das ist schon alles, was man machen muss. Daraus folgt doch



Und das war zu zeigen. f ist also injektiv.

Zitat:
Gibt es ein Symbol für "genau ein"?

Jep, gibt es. Man schreibt . Das heißt "es gibt genau ein".

Alles weitere verschieben wir auf morgen, denn ich war Fußball gucken und hab so langsam gewaltig einen im Tee. Denn Bayern hat gewonnen und alle anderen haben gepatzt. Augenzwinkern
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Big Laugh Ich verstehe davon nicht viel, aber ich gratuliere einfach mal Freude

Okay, ich lege mich auch mal hin.

Bis morgen. smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
4. Sind f und g bijektiv, so auch gf.

Mach das in zwei Schritten:

1) Sind f und g surjektiv, so auch g°f (diesen Teil haben wir ja sogar schon weiter oben gemacht)

2) Sind f und g injektiv, so auch g°f.

Daraus folgt die Behauptung.

Zitat:
Original von Lisa88
Für die Umkehrfunktion von gf gilt zudem:

Einfach nachrechnen.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Sind f und g bijektiv, so sind beide sowohl surjektiv als auch injektiv.

Injektivität:

Sei f(a) = f(b).







Surjektivität:

Da f surjektiv ist muss es für jedes ein geben, sodass f(a) = b gilt.
Da g surjektiv ist muss es für jedes ein geben, sodass g(b) = c gilt.
Daraus folgt g(b) = g(f(a)) = c und somit gibt es für jedes ein .

Kann ich den Teil zur Surjektivität auch rein mathematisch aufschreiben?
Also ohne ein geschriebenes Wort?
Wie schreibt man denn "da f surjektiv ist" oder "für jedes muss es ein geben".
Das Symbol für daraus folgt ist oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88
Injektivität:

Sei f(a) = f(b).






Irgendwie... was zeigst du da denn jetzt? Wir nehmen an, dass f und g injektiv sind. Das ist die Voraussetzung, das sollst du als gegeben benutzen. Und nun sollst du zeigen, dass dann auch injektiv ist. Du machst aber irgendwie was völlig anderes.

Und die Surjektivität haben wir wie gesagt schon längst gemacht, also musst du das nicht nochmal alles aufschreiben. Verweis auf die allererste Aufgabe und fertig. Und so wie wir das da aufgeschrieben haben, ist das völlig in Ordnung.

Zitat:
Original von Lisa88
Kann ich den Teil zur Surjektivität auch rein mathematisch aufschreiben? Also ohne ein geschriebenes Wort?
Also ohne ein geschriebenes Wort?

Es ist völlig unnötig, sowas anzustreben. Mir kommt das irgendwie so vor, als würdest du es für negativ erachten, wenn man auch ein paar Wörter schreibt. Ich finde das im Gegenteil viel übersichtlicher und leichter zu lesen, als wenn man da auf Teufel komm raus irgendeinen Symbol-Salat fabriziert. Auch mal ein paar Wörter zu schreiben ist absolut nicht "unmathematisch".

Zitat:
Original von Lisa88
Wie schreibt man denn [...] "für jedes muss es ein geben".

Das würde ich so schreiben:

Zitat:
Original von Lisa88
Das Symbol für daraus folgt ist oder?

Ja, ist es.
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Okay, dann ein neuer Versuch:

Also ist vorausgesetzt, dass f und g injektiv sind.
Ich definiere jetzt mal h = gf.
Sei h(a) = h(b) mit . Und jetzt muss ja irgendwie wieder a = b rauskommen für Injektivität.


Denn g ist ja injektiv und dadurch muss f(a) = f(b) sein.


Denn f ist ja auch als injektiv vorausgesetzt.

Und nun habe ich mein Ziel erreicht, oder?

Zitat:
Mir kommt das irgendwie so vor, als würdest du es für negativ erachten, wenn man auch ein paar Wörter schreibt.


Ich dachte bei der Uni-Mathematik müssen alle Lösungen rein mathematisch beschrieben werden, weil das mit Wörtern eher an Schulmathematik erinnert.
Aber wenn dem nicht so ist, umso besser smile

Aber so wäre das hier für Surjektivität auch richtig? :
Vorausgesetzt sei f,g sind surjektiv.







Welchem deutschen Wort entspricht der ":"?

Vielen lieben Dank Mulder smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Zitat:
Original von Lisa88

Das finde ich formal etwas problematisch. Links steht nur h, h ist eine Abbildung. h setzt du dann aber mit g(f(a)) gleich, g(f(a)) ist aber ein festes Element aus C. Da musst du links auch mit h(a) anfangen. Für das gf gilt das natürlich ebenso. Sonst sind diese Gleichheitszeichen formal falsch, auch wenn ich weiß, dass du wohl das richtige meintest.

Es macht ja einen Unterschied, ob man h als Objekt betrachtet, oder einen "Funktionswert" h(a).

Wobei es auch nicht unbedingt nötig ist, aus dem gf vorher noch wieder ein h zu machen. Warum noch einen zusätzlichen Buchstaben einführen? Ist nicht falsch, aber auch nicht hilfreich.

Ansonsten ist dein Beweis aber richtig.

Zitat:
Original von Lisa88
Ich dachte bei der Uni-Mathematik müssen alle Lösungen rein mathematisch beschrieben werden [...]

Es gilt da, das richtige Mittelmaß zu finden. Das lernt man aber von alleine.

Zitat:
Original von Lisa88





Ich hab nochmal was ergänzt, damit rechts auch eine sinnvolle Aussage steht. Einfach nur "für alle c aus C gibt es ein a aus A" ist keine vollständige Aussage, man muss a und c ja irgendwie in einen Zusammenhang bringen, damit es Sinn macht.

Außerdem würde ich die ersten beiden Zeilen vertauschen. Dann hat man nämlich einmal, dass es für jedes c aus C ein Urbild b unter g in B gibt, und im darauffolgenden Schritt sagt man dann, dass es für genau dieses b auch ein Urbild a unter f in A gibt.

Ansonsten könnte man das dann wohl durchgehen lassen, denke ich...

Zitat:
Original von Lisa88
Welchem deutschen Wort entspricht der ":"?

Sinngemäß etwa "sodass".
Lisa88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen
Okay.. wow.. ein ganz großes Dankeschön aus tiefsten Herzen an dich Mulder smile Gott
Ich habe zwar noch ein paar Aufgaben, aber dafür mache ich einen neuen Thread auf, damit du hier nicht verrückt wirst.

Danke nochmal Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »