Bestimmung von Infimum und Supremum

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01.11.2012, 00:51	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung von Infimum und Supremum Hallihallo, ich studiere seit 3 Wochen Physik und bin zur Zeit etwas erschlagen von der ganzen Mathematik . Auf dem Übungszettel steht folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} E:=\{\frac{xy}{x+y} \| x,y \in ]0,1[ \} \end{eqnarray}$ , bestimmen sie sup E und inf E Ich bin wie folgt vorgegangen: Behauptung: 0 ist eine untere Schranke von E. $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{xy}{x+y} \rightarrow xy\geq 0 \end{eqnarray}$ Dies gilt für alle x,y. Also ist 0 ist eine untere Schranke von E Behauptung: Es existiert ein a > 0, sodass gilt $\begin{eqnarray} a\leq \frac{xy}{x+y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(x+y) \leq xy < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{a}>x+y>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1>0 \end{eqnarray}$ Das würde jetzt bedeuten, dass 0 kein Infimum ist, was meiner Meinung nach falsch ist, da ich einen Widerspruch erwartet habe! Kann mir evtl. jemand erklären was ich falsch gemacht habe? MfG. Max
01.11.2012, 11:03	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Huch, ich habe das ganze versehentlich in "Schulmathematik" gepostet, obwohl es zu "Hochschulmathematik" gehört! Sorry!
01.11.2012, 11:54	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz für deinen Widerspruchsbeweis ist schon falsch. Denn was ist deine Aussage? Für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ gibt es x und y, so dass $\begin{eqnarray} a<\frac{xy}{x+y} \end{eqnarray}$ . Dass man solche Wertepaare findet, für die die Ungleichung erfüllt ist, ist klar. Zunächst einmal sollst du $\begin{eqnarray} \sup E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \inf E \end{eqnarray}$ bestimmen, denn das ist die Aufgabe. Und merke, $\begin{eqnarray} \inf E \end{eqnarray}$ ist nicht irgendeine untere Schranke von E. Solche lassen sich bieliebig viele finden. -1 beispielsweise ist eine, -2 auch, -1000 auch. Vielmehr wird die größtmögliche der unteren Schranken gesucht. Genauso verhält es sich mit dem Supremum. $\begin{eqnarray} \sup E \end{eqnarray}$ ist die kleinste obere Schranke von E
01.11.2012, 12:37	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung von Infimum und Supremum Ah ok, das passiert wenn man versucht, soetwas um 1 Uhr zu lösen! Nur um sicher zu gehen, dass ich diesmal alles richtig gemacht habe: Ich argumentiere weiter : Es gibt ein a>0, sodass obige Bedingung für alle x,y erfüllt ist. Daraus folgt, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray} a >\frac{xy}{x+y} \end{eqnarray}$ , für kein {x,y} erfüllt ist: $\begin{eqnarray} a(x+y)>xy>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(x+y)>0 \end{eqnarray}$ Dies ist jedoch für alle {x,y} erfüllt. Aussage B ist somit falsch. Daraus folgt, dass auch Aussage A falsch sein muss. Also gibt es kein a>0, sodass $\begin{eqnarray} a\leq \frac{xy}{x+y} \end{eqnarray}$ . Also ist 0 ein Infimum von E MfG. Max
01.11.2012, 15:22	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sieht schjon besser aus. Du musst nur genauer bei der Angabe sein, für welche $\begin{eqnarray} (x,y)\in]0,1[\times]0,1[ \end{eqnarray}$ deine Aussagen gelten. Gut, du hast jetzt gezeigt, dass 0 wirklich ein Infimum von E ist. Aber wie hast du das Infimum bestimmt? In der Augabe steht ja, dass du Infimum und Supremum von E bestimmen sollst, nicht dass du zeigen sollst, dass 0 Infimum und, sagen wir mal, b ein Supremum von e ist. Wie bist du vorgegangen, um das Infimum zu bestimmen? Welchen Wert wird das Supremum haben?
01.11.2012, 17:36	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Infimum bestimmt in dem ich eine untere Schranke "geraten" habe und gezeigt habe, dass es keine größere untere Schranke gibt. Das Supremum würde ich analog "bestimmen", in dem ich x,y=1 setze und zeige, dass 1/2 eine obere Schranke ist. Deinem Post entnehme ich dass das wohl nicht der optimale Weg ist!?
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02.11.2012, 00:28	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, im Allgemeinen geht es so nicht (du würdest dich dann zu Tode suchen). Um Supremum und Infimum einer Menge zu finden. Musst du die absoluten Extrema oder die Randextrema ermitteln. Speziell in deiner Aufgabe gibt es im Betrachtungsintervall keine Extrema. Wir haben es hier also nur mit Randextrema zu tun. Es kommt also das Richtige heraus, wenn du nach deiner Methode verfährst.
03.11.2012, 14:38	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke! Soetwas wie Randextrema (generell Infinitesimalrechnung) hatten wir noch nicht in der Vorlesung! Also wäre die allgemeine Vorgehensweise, die Bildungsvorschrift der Menge abzuleiten, und dann evtl. Extrema im Intervall zu finden!? Gäbe dass dann nicht Probleme in anderen Zahlenbereichen wie etwa ganze oder natürliche Zahlen?
04.11.2012, 01:54	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Und die Problematik hast du auch schon richtig erkannt, denn die Funktion muss schon dafür partiell differenzierbar sein.

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