Ungleichungen, Beweis

01.11.2012, 09:24

Womanpower

Ungleichungen, Beweis

Meine Frage:
Guten Morgen meine Damen und Herren, wobei die ersteren hier wohl in Unterzahl sind smile

Ich bin Erstsemester und soll bei folgender Aufgabe, folgendes beweisen:

a) $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 + nx für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ,x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit x > -1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Muss ich jetzt für x -1 einsetzen ?

01.11.2012, 09:38

Iorek

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Warum solltest du $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ einsetzen? verwirrt

Die so genannte Bernoullische Ungleichung beweist man üblicherweise per Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

01.11.2012, 09:43

Womanpower

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Induktion sagt mir was, hättest du vielleicht einen Ansatz für mich smile

01.11.2012, 09:46

Iorek

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Ich würde mit dem Induktionsanfang ansetzen.

01.11.2012, 09:57

Womanpower

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IA: Also n=0 somit ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^{0} = 1 + 0x \end{eqnarray*}$

01.11.2012, 09:59

Iorek

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Du solltest noch begründen, warum beide Seiten der Gleichung übereinstimmen. Ansonsten geht es jetzt wie bei jeder Induktion mit der Induktionsvoraussetzung und dann dem Induktionsschritt weiter.

01.11.2012, 10:04

Womanpower

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Warum beide Seiten übereinstimmen mh
IA: Also n=0 somit ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^{0} = 1 + 0x \geq 1 \end{eqnarray*}$ so?

01.11.2012, 10:33

Iorek

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Wieso kommt denn da jetzt $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ in Spiel? Du sollst nur begründen, warum $\begin{eqnarray*} (1+x)^0=1+0x \end{eqnarray*}$ korrekt ist, warum also auf beiden Seiten auch wirklich das gleiche steht.

01.11.2012, 10:43

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} weil \Rightarrow 1=1 \end{eqnarray*}$

und jetzt weiter zur I-voraussetzung und dem I-Schritt

I-voraussetzung setzen wir ja für n n+1 ein

also $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+x)^{n+1} \geq 1 + nx +x \end{eqnarray*}$

wie kriege ich denn den ersten Teil vereinfacht heraus $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

01.11.2012, 11:01

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+x)^{n} \cdot (1+x) \geq 1 + nx + x \end{eqnarray*}$

nun weiß ich nicht wie ich das ausmultiplizieren soll mit dem n im Exponenten

01.11.2012, 11:19

Iorek

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In der Induktionsvoraussetzung setzt du nicht $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ein. unglücklich

Schlag noch einmal das Prinzip der vollständigen Induktion nach; in der Induktionsvoraussetzung setzt du voraus, dass die Aussage bereits für ein (festes) $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ bewiesen wurde. Im Induktionsschritt folgerst du dann daraus, dass die Aussage auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Induktionsanfang: n=0

$\begin{eqnarray*} (1+x)^0=1=1+0\cdot x \checkmark \end{eqnarray*}$ , also gilt die Aussage für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung: die Behauptung gelte für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Im Induktionsschritt ist nun zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ , dabei darfst du die Induktionsvoraussetzung verwenden. Wir fangen also an mit:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ , hier solltest du jetzt die Induktionsvoraussetzung erkennen und anwenden.

01.11.2012, 12:22

Womanpower

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upsiii sorri hatte es nur einmal kurz im LK, das hatte ich ja eben

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+x)^{n} \cdot (1+x) = ... ??? \end{eqnarray*}$

da wusste ich gerade nicht weiter mit dem n im Exponenten traurig

01.11.2012, 12:42

fleurita

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den term: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ so lassen.

Es sieht doch so aus: du hast den induktionsanfang (I.A.) mittels $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt. Dadurch hast du die induktionsvoraussetzung (I.V.) $\begin{eqnarray*} (1+x)^{k}\geq 1 + kx \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ erhalten.

Damit kannst du also $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \color{red}(1+x)^{n}\color{black} \cdot (1+x)\geq\ \color{red}?\color{black} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

Für das fragezeichen kannst nun selber das richtige hinschreiben.

01.11.2012, 13:17

Womanpower

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danke $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \cdot (1+x) \geq (1+nx) \geq (1+x) \end{eqnarray*}$

aber wie kommt das n herunter, kann den Schritt nicht nachvollziehen traurig

01.11.2012, 13:40

Iorek

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Was hast du denn nun für das $\begin{eqnarray*} \color{red}?\color{black} \end{eqnarray*}$ eingefügt? Du sollst doch die Induktionsvoraussetzung verwenden.

Ich würde dir empfehlen, das Vorgehen bei der vollständigen Induktion in deinen Unterlagen noch einmal nachzuschlagen und dir auch eventuelle Beispiele dazu anzusehen.

01.11.2012, 20:18

Womanpower

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Also alles von vorne Schritten Induktionsanfang (IA)

$\begin{eqnarray*} n=0 (1+x)^{0} \geq 1+n \cdot 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1=1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt (IS)

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$
das ergibt $\begin{eqnarray*} \geq (1 + nx) (1 + x) \end{eqnarray*}$
das dann $\begin{eqnarray*} = 1 + x + nx + nx^{2} \end{eqnarray*}$
das dann $\begin{eqnarray*} = 1 + (n + 1)x + nx^{2} \end{eqnarray*}$
das dann $\begin{eqnarray*} \geq 1 + (n + 1)x \end{eqnarray*}$

kann mir jemand bitte erklären wie das (1+nx) in die 2. Zeile kommt ich versteh es einfach nicht, genauso wenig wie in der letzten Zeile das nx zum Quadrat wegfällt... Wäre echt froh weil sitze echt schon Stunden davor

01.11.2012, 20:24

Huy

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} n=0 (1+x)^{0} \geq 1+n \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Hier müsste ganz rechts 0 * x stehen und nicht n * 0.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$
das ergibt $\begin{eqnarray*} \geq (1 + nx) (1 + x) \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung gilt nach Induktionsvoraussetzung.
Der Induktionsschritt funktioniert so: Du nimmst an, die Aussage sei bereits für n wahr und zeigst dann, dass sie auch für n+1 stimmt. Du wendest hier also einfach (1+x)^n >= 1 + nx an.

Zitat:

das dann $\begin{eqnarray*} = 1 + (n + 1)x + nx^{2} \end{eqnarray*}$
das dann $\begin{eqnarray*} \geq 1 + (n + 1)x \end{eqnarray*}$

n ist eine natürliche Zahl und x^2 ist positiv für alle reellen Zahlen x. Also ist n*x^2 positiv. Wenn du eine Zahl um eine positive Zahl kleiner machst, so wird diese erste Zahl kleiner.

MfG

01.11.2012, 20:31

Womanpower

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danke... aber iwie habe ich eine Blokade meines Gehirns ich weiß auch nicht ich versteh deb´n Schritt einfach nicht wo (1+nx) (1+x) in Spiel kommt

01.11.2012, 20:41

Iorek

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Ist dir das Prinzip der vollständigen Induktion denn klar? Welche Bedeutung hat die Induktionsvoraussetzung, und vor allem: wie sieht die hier bei dieser Aufgabe konkret aus? Du hast diese nämlich einfach übersprungen.

01.11.2012, 20:48

Womanpower

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meine Nerven sind echt überstrapaziert...ja ich hab es mir etliche male durchgelesen

die Induktionsvoraussetzung lautet

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

01.11.2012, 21:03

Womanpower

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ah nein was red ich da -.-

01.11.2012, 21:09

Iorek

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Das ist eben nicht die Induktionsvoraussetzung. Und anscheinend ist dir die Bedeutung der IV und das generelle Vorgehen ja nicht klar, daher mein Hinweis auf schon fertige Beispielrechnungen, die könnten hilfreich sein.

Also noch einmal von vorne, mit kommentierten Zwischenschritten:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n>1+nx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R, x\geq -1 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^0=1=1+0\cdot x \checkmark \end{eqnarray*}$ . Einsetzen, ausrechnen, fertig.

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ gelte für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ . Hier wird nun vorausgesetzt, dass die Behauptung bis zu einer Zahl $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ schon nachgewiesen wurde, diese Ungleichung dürfen wir also im folgenden Induktionsschritt verwenden.

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ . Dazu:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot(1+x)\stackrel {(*)}\geq (1+nx)(1+x) \end{eqnarray*}$

Warum gilt nun diese Ungleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ ? Nach Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ , somit können wir den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ nach unten Abschätzen; wenn $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\cdot (1+x)\geq (1+nx)\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ (hier sollte man evtl. noch etwas über das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ sagen, damit die Ungleichung korrekt ist).

Von $\begin{eqnarray*} (1+nx)(1+x) \end{eqnarray*}$ musst du jetzt nur noch durch eine weitere Abschätzung auf $\begin{eqnarray*} 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ kommen.

01.11.2012, 21:11

Womanpower

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Induktionsvoraussetzung bzw. Induktionsannahme sind äquivalente Bezeichnungen???

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+ nx \end{eqnarray*}$

lautet die Induktionsvoraussetzung

und dieses 1+nx wird einfach eingesetzt?

01.11.2012, 21:19

Iorek

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Ja, Induktionsvoraussetzung oder Induktionsannahme kann man beides verwenden. Um Verwechslungen mit dem Induktionsanfang zu vermeiden, verwende ich jedoch immer Induktionsvoraussetzung. Und 1+nx wird nicht einfach so eingesetzt, die Begründung warum das eingesetzt wird bzw. werden kann steht oben.

01.11.2012, 21:24

Womanpower

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Ich könnte heulen unglücklich

mir leuchtet dieser eine Schritt immer noch nicht ein... ich verstehe das Vorgehen nur nicht diesen einen Schritt mit dem Sternchen wo der eine Term dazukommt... unglücklich

01.11.2012, 21:25

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Warum gilt nun diese Ungleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ ? Nach Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ , somit können wir den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ nach unten Abschätzen; wenn $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\cdot (1+x)\geq (1+nx)\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ (hier sollte man evtl. noch etwas über das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ sagen, damit die Ungleichung korrekt ist).

Wo liegt denn dein Problem? Welche Begründung verstehst du dabei nicht?

01.11.2012, 21:31

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \cdot (1+x) \geq (1+nx) \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

der linke Teil leuchtet ein wir ziehen die Exponenten auseinander und wie kommt dann diese rechte Seite der Ungleichung zu Stande ich komme einfach nicht dahinter, ich glaube ich habe alle möglichen Schema durchgeixt... auf der rechten Seite soll doch die Induktionsvoraussetzung stehen... aber das ist doch komplett was anderes unglücklich

01.11.2012, 21:33

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Wo liegt denn dein Problem? Welche Begründung verstehst du dabei nicht?

Dort steht eigentlich die komplette Begründung drin, wie die rechte Seite zu Stande kommt, also noch einmal: welcher Schritt dieser Begründung ist dir unklar? Wo hängt es bei dir?

01.11.2012, 21:48

Womanpower

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wie gesagt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+nx \end{eqnarray*}$

leuchtet ein ist für n=0 im IA bewiesen, nun fängt es mit dem Abschätzen an, was wird wie abgeschätzt und wieso?

aber das Hauptproblem dem ich schon Stunde widme wir setzen n+1 ein für n

sprich

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ leuchtet auch ein

aber wieso das dann kleiner gleich

$\begin{eqnarray*} \geq (1+nx) \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

ist leuchtet nicht ein ich hätte da folgendes stehen

$\begin{eqnarray*} 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

also einfach n+1 eingesetzt und nicht das was da steht... wie kann denn

$\begin{eqnarray*} 1+nx \end{eqnarray*}$

einfach zu

$\begin{eqnarray*} (1+nx) \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

werden

01.11.2012, 21:55

Iorek

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Es wird nicht $\begin{eqnarray*} 1+nx \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (1+nx)\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ ! unglücklich

In der Begründung oben steht doch eindeutig, dass mit $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\cdot (1+x)\geq (1+nx)\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ ist. Und wieso $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ schon direkt aus dem Induktionsanfang begründet werden soll, mag sich mir auch nicht erschließen und ist auch falsch. Das wird in der Induktionsvoraussetzung gefordert. Und warum abgeschätzt wird? Weil eine Abschätzung bewiesen werden soll.

Du hast zwei Zahlen, 123 und 456, dann ist doch hoffentlich $\begin{eqnarray*} 456 \geq 123 \end{eqnarray*}$ . Was passiert jetzt wenn wir das mit einer (positiven) Zahl auf beiden Seiten multiplizieren? Ist $\begin{eqnarray*} 456 \cdot 2 \geq 123 \cdot 2 \end{eqnarray*}$ Was ist mit $\begin{eqnarray*} 456 \cdot 12760 \geq 123 \cdot 12760 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 456 \cdot 10^{1234567890}\geq 123 \cdot 10^{1234567890} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 456 \cdot 0{,}2 \geq 123 \cdot 0{,}2 \end{eqnarray*}$ oder...? Sind diese Ungleichungen alle richtig?

01.11.2012, 22:06

Womanpower

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ja sind sie ...

vielleicht könntest du es mir noch an einem anderen Beispiel erläutern z.B traurig

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} = \sum\limits_{m=k}^n \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq k \end{eqnarray*}$

01.11.2012, 22:17

fleurita

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probiers doch erstmal mit nem einfacheren beispiel: $\begin{eqnarray*} \sum\limits^n_{i=1} (2i-1) = n^2 \end{eqnarray*}$

du wirst sehen, wenn du es 1, 2 mal gemacht hast kannst du es smile

Wir helfen dir dabei, du musst nur ganz konkrete fragen stellen.

Oder dieses etwas schwierigere: $\begin{eqnarray*} 2^n\ge n^2 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n\ge 4 \end{eqnarray*}$

01.11.2012, 22:34

Womanpower

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IA $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^1 (2-1)=1 \end{eqnarray*}$

1=1 passt

Beim Induktionsschritt müsste man dann ja zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (2i-1) = n^{2} \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (2i-1) = (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

nun was ich hier jetzt genau die Induktionsvoraussetzung ... ?

01.11.2012, 22:45

fleurita

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es ist meiner meinung nicht wichtig das verfahren sofort zu verstehen, ich habe es auch erst auswendig gelernt und dann nach ein paar anwendungen hinterfragt.

Man fängt mit der induktionsvoraussetzung (I.A.) an, da beweist man die gegebene (un-)gleichung für irgendeine natürliche zahl. Das muss aber natürlich eine zahl sein, die man auch einsetzen darf. Also z.b. nicht n=0 wenn der term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Und dann, wenn man das gezeigt hat (und das hast du gerade gemacht smile

), nimmt man an die (un-)gleichung gilt für ein beliebiges n. Und genau das ist die induktionsvorraussetzung (I.V.). Und die ist immer gleich der gegebenen (un-)gleichung. Also in deinem fall ist I.V.: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (2i-1) = n^{2} \end{eqnarray*}$

Diese induktionsvorraussetzung braucht man für den letzten schritt, den induktionsschritt (oder auch induktionssschluss genannt).

Also weiter gehts!

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