Aufgabe zu Gruppenhomomorphismus

01.11.2012, 10:45

isdochegal

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Aufgabe zu Gruppenhomomorphismus

hey
also ich hab hier folgende aufgabe:
Betrachte (R^2 , +), (R , +) und den Gruppenhomomorphismus f: R^2 -> R, f((a , b)) := a-b
(das große R steht immer für die reellen Zahlen)

a) Zeichnen sie die Menge {(a,b) element aus R^2 | (a,b) element aus Ker f).
b) Stellen sie die Elemente [(2 , 0)], [-1 , 1/2], [(0 , 1)] element aus R^2/ Ker f graphisch in R^2 dar.
c) Geben sie einen Isomorphismus h: R^2/ Ker f -> R an.

Meine bisherigen Ansätze waren, dass das neutrale Element in f null sein muss. Daraus folgt dann, dass das Inverse zu a auch a ist, wegen a-a=0. und weil man die Elemente die in R^2 und in Ker f liegen, also die Elemente, die abgebildet das neutrale Element ergeben, müsste das die Menge der Zahlen {a,a} sein, also bei denen das erste Element das gleichewie das zweite ist. Die Menge würde sich dann durch eine Urpsrungsgerade mit der Steigung 1 darstellen lassen.
Im b)-teil der Aufgabe steht dann allerdings, dass ja die Elemente [(2 , 0)], [-1 , 1/2], [(0 , 1)] in dieser Menge aus dem a)-teil liegen müssen, laut meiner lösung wären sie jedoch nicht drin.

wäre cool wenn mir da jemand sagen kann, wo ich den fehler gemacht hab, danke schon mal im voraus.

01.11.2012, 12:05

zweiundvierzig

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Die Lösung zu a) stimmt. Noch etwas kompakter: $\begin{eqnarray*} (a,b) \in \ker f \iff f((a,b)) = 0 \iff a - b = 0 \iff a = b \end{eqnarray*}$ . Nein, dort ist nicht von $\begin{eqnarray*} (2,0) \in \ker f \end{eqnarray*}$ die Rede, sondern von der Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [(2,0)] \in \mathbb R^2 / \ker f \end{eqnarray*}$ . Das ist ein tragender Unterschied!

01.11.2012, 12:31

isdochegal

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danke schon mal für die antwort
wenn ich das meinem aufschrieb dazu richtig entnehmen, beduetet äquivalenzklasse, dass diese beiden elemente (also 2 und 0 zum beispiel) äquivalent zueinander sind.
aber was bedeutet das dann für die aufgabe und vor allem wie bring ich das in den graph?

01.11.2012, 14:45

zweiundvierzig

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Zitat:

wenn ich das meinem aufschrieb dazu richtig entnehmen, beduetet äquivalenzklasse, dass diese beiden elemente (also 2 und 0 zum beispiel) äquivalent zueinander sind.

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} (2,0) \end{eqnarray*}$ ein einzelnes Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie sind denn Quotientenräume definiert?

01.11.2012, 15:07

isdochegal

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mit quotientenräumen haben wir glaube ich noch gar nichts gemacht, der begriff sagt mir jedenfalls nichts...verstehe auch die definition nicht wirklich, weil wir mit vektoren noch gar nicht angefangen haben

02.11.2012, 17:56

zweiundvierzig

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Naja, in der Vorlesung solltet Ihr aber schon einen Raum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ für einen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ konstruiert haben, wenn Ihr Aufgaben bekommt, die genau eine solche Konstruktion involvieren. Vielleicht habt Ihr Faktorraum o.ä. dazu gesagt.

Wenn Ihr wirklich gar nichts im Skript dazu hattet, dann lies Dir den Wikipedia-Artikel mal durch. Wenn Du einzelne Dinge konkret nicht verstehst, kannst Du gerne nachfragen.

Edit: Okay, nach diesmal aufmerksamem Lesen fällt mir auf, dass wir uns hier wirklich nur im gruppentheoretischen Kontext bewegen, daher wohl das Missverständnis. Na gut, Quotientengruppen habt ihr ja schon definiert. Was sind denn die Elemente einer Quotientenrguppe?

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06.11.2012, 00:28

Peter Lustig

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Ich hänge auch an dieser Aufgabe .. ich weiß einfach nicht wie ich ansetzen soll.

06.11.2012, 11:09

MatheMan92

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Gleiche Aufgabe, gleiche Frage :P

06.11.2012, 14:16

Peter Lustig

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Hat denn nicht vielleicht noch wenigstens einer einen Tipp?

06.11.2012, 14:37

zweiundvierzig

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Hallo an alle,

ich greife mal Peters Ansätze auf:

Zitat:

Original von Peter Lustig
a) Ist die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten. 0 ist ja das neutrale Element bezüglich der Addition. und a-b=0 wenn a=b. Stimmt das?

Genau so ist es.

Zitat:

Original von Peter Lustig
b) Ist jeweils die Winkelhalbierende parallel verschoben durch die entsprechenden Punkte. Aber wieso ist das so?

Das wird klar, wenn man sich die Definition von Quotientenräumen veranschaulicht. Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , dann besteht der Quotientenraum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ aus den Nebenklassen $\begin{eqnarray*} v + U \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Der Nullvektor ist hierbei gerade der Unterraum $\begin{eqnarray*} 0 + U = U \end{eqnarray*}$ , allerdings aufgefasst als Element des neuen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ . Wenn wir also den Raum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ grafisch skizzieren
wollen, muss der ganze Raum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als Element enthalten sein.
Wie sieht dies in unserem Falle aus? Und wie kommt man von dort auf die übrigen Element des Quotientenraums?

(Hier geht es zwar nur um Gruppen, nicht um Vektorräume, aber ich habe das alles mal für Vektorräume formuliert, weil dann hoffentlich die geometrische Intuition klarer wird. Man kommt ja von einem Vektorraum zu einer Gruppe, indem man die Skalarmultiplikation vergisst, d.h. in unserem Falle schadet es der Algebra auch nicht.)

Zu (c):
Ihr solltet einen Satz gelernt haben, dass ein surjektiver Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f \colon G \to H \end{eqnarray*}$ einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} G/\ker f \to H \end{eqnarray*}$ induziert.

06.11.2012, 14:55

Peter Lustig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Hallo an alle,

ich greife mal Peters Ansätze auf:

Zitat:

Original von Peter Lustig
a) Ist die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten. 0 ist ja das neutrale Element bezüglich der Addition. und a-b=0 wenn a=b. Stimmt das?

Genau so ist es.

Zitat:

Original von Peter Lustig
b) Ist jeweils die Winkelhalbierende parallel verschoben durch die entsprechenden Punkte. Aber wieso ist das so?

Das wird klar, wenn man sich die Definition von Quotientenräumen veranschaulicht. Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , dann besteht der Quotientenraum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ aus den Nebenklassen $\begin{eqnarray*} v + U \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Der Nullvektor ist hierbei gerade der Unterraum $\begin{eqnarray*} 0 + U = U \end{eqnarray*}$ , allerdings aufgefasst als Element des neuen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ . Wenn wir also den Raum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ grafisch skizzieren
wollen, muss der ganze Raum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als Element enthalten sein.
Wie sieht dies in unserem Falle aus? Und wie kommt man von dort auf die übrigen Element des Quotientenraums?
.

ich hab versucht das folgendermaßen zu begründen: f([a,b])=f([2,0])=a-b =2-0 => b=-2+a
ob ich das so machen kann weiß ich natürlich nicht.

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Zu (c):
Ihr solltet einen Satz gelernt haben, dass ein surjektiver Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f \colon G \to H \end{eqnarray*}$ einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} G/\ker f \to H \end{eqnarray*}$ induziert.

Diesen Satz haben wir in der Vorlesung nicht gelernt. Ich bin darüber aber beim Suchen im Internet mehrmals gestoßen.
Der Zusammenhang den wir in der Vorlesung zwischen Homomorphismus und Isomorphismus gelernt haben ist: Ein Gruppenhomomorphismus f:G->H ist genau dann ein Isomorphismus, wenn f bijektiv ist.

06.11.2012, 15:04

zweiundvierzig

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Versuch erstmal, Dir Unabhängig von der Aufgabe vorzusetllen, was überhaupt vor sich geht. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sei ein eindimensionaler Unterraum. Dann ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nichts anderes als eine Gerade durch den Ursprung. (Ist klar, wieso?)

Wir haben ja festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als Element in $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ enthalten sind. Die übrigen Elemente von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \in V, ~ v \neq 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v + U = \{ v + u \colon u \in U\} \end{eqnarray*}$ . Wie lassen die $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ sich denn grafisch vorstellen?

Zitat:

Original von Peter Lustig
Ein Gruppenhomomorphismus f:G->H ist genau dann ein Isomorphismus, wenn f bijektiv ist.

Gut, das ist die Definition. Zur (c) kommen wir, wenn wir die (b) durchhaben, würde ich sagen.

06.11.2012, 15:19

Peter Lustig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Versuch erstmal, Dir Unabhängig von der Aufgabe vorzusetllen, was überhaupt vor sich geht. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sei ein eindimensionaler Unterraum. Dann ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nichts anderes als eine Gerade durch den Ursprung. (Ist klar, wieso?).

Ja, denn um Unterraum zu sein, muss der Nullvektor ja durch den Ursprung gehen?!

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wir haben ja festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als Element in $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ enthalten sind. Die übrigen Elemente von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \in V, ~ v \neq 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v + U = \{ v + u \colon u \in U\} \end{eqnarray*}$ . Wie lassen die $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ sich denn grafisch vorstellen?
.

v+U ist dann unsere Gerade U, zu der wir einfach noch einen Wert addieren, also ist v+U einfach eine parallel verschobene Gerade zu U.

06.11.2012, 15:42

Peter Lustig

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Schade, dass du off bist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, ich werds wohl frühestens morgen früh nochmal kurz hier reinschaffen, aber dann ist es wohl auch schon zu spät, da um 10 das blatt abgegeben sein muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber vielen Dank für die Mühe & Zeit, die du dir genommen hast.

06.11.2012, 16:08

Peter Lustig

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Teilaufgabe b habe ich jetzt vollständig gelöst und bin mir nun auch sicher, dass es so passt.

Zur c: Vielleicht hast du ja noch einen Tipp dazu, falls du heute nochmal online bist. Dann würde ich es morgen früh nochmal versuchen smile

smile

07.11.2012, 01:49

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Ja, denn um Unterraum zu sein, muss der Nullvektor ja durch den Ursprung gehen?!

Genau, der Nullvektor muss selbst als Punkt in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten sein. (Daher ist $\begin{eqnarray*} v + U \end{eqnarray*}$ auch nur genau dann ein Vektorraum, wenn $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$ , sonst nur ein affiner Raum, d.h. ein "konstant verschobener Vektorraum")

Zitat:

Original von Peter Lustig
v+U ist dann unsere Gerade U, zu der wir einfach noch einen Wert addieren, also ist v+U einfach eine parallel verschobene Gerade zu U.

Genau.

smile

Zu c.):
Wie könnte einem die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ dazu dienen überhaupt erstmal eine neue Abbildung $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \colon \mathbb R^2/\ker f \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu definieren?

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