Doppelpost! Orthogonalprojektion (gdw)

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01.11.2012, 10:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion (gdw) Meine Frage: Moin, ich habe einen Hilbertraum $\begin{eqnarray} \mathcal{H} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Pr\in\mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H}) \end{eqnarray}$ sei eine Projektion, also $\begin{eqnarray} Pr^2=Pr \end{eqnarray}$ . Zeigen soll ich: $\begin{eqnarray} Pr \end{eqnarray}$ ist genau dann Orthogonalprojektion, d.h. $\begin{eqnarray} \mathcal{H}=\mbox{Im}Pr\oplus\mbox{ker}Pr \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} Pr^=Pr \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Also $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ist kein Thema, da muss ich einfach nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle Pr~x,y\rangle = \langle x,Pr~y\rangle \end{eqnarray}$ . Da schiebe ich einfach Elemente aus dem Kern ein und nutze die Linearität des Skalarprodukts: $\begin{eqnarray} \langle Pr~x,y\rangle = \langle Pr~x,Pr~y+(y-Pr~y)\rangle=\langle Pr~x,Pr~y\rangle+\underbrace{\langle Pr~x,y-Pr~y\rangle}_{=0,\mbox{ da }y-Pr~y\in\mbox{ker}Pr\bot\mbox{Im}Pr} \end{eqnarray}$ Mit der gleichen Argumentation ist $\begin{eqnarray} \langle x,Pr~y\rangle=\langle Pr~x,Pr~y\rangle \end{eqnarray}$ . Also gilt die Identität, die zu zeigen war. ---- Aber was muss man nun bei $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ zeigen?
01.11.2012, 11:45	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die erste Richtung ist richtig. Für die Andere sei $\begin{eqnarray} x\in H \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} x = Pr(x) + (x - Pr(x)) \end{eqnarray}$ daher reicht es zu zeigen, $\begin{eqnarray} \langle Pr(x), x - Pr(x) \rangle = 0 \end{eqnarray}$ mfg
01.11.2012, 11:48	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sergej88! Kannst Du mir evtl. erklären, wieso ich gerade das zeigen muss? Ich bin nämlich mal wieder ein paar Stufen langsamer als Du und sehe es (noch) nicht. Edit: Achso... Es soll ja gezeigt werden, dass sich der Hilbertraum in eine direkte orthogonale Summe aus Bild und Kern der Projektion "zerteilen" lässt. Also nehme man sich ein beliebiges Elemente x aus dem Hilbertraum her: Dieses lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray} x=\underbrace{Pr~x}_{\in\mbox{Im}Pr}+\underbrace{(x-Pr~x)}_{\in\mbox{ker}Pr} \end{eqnarray}$ . Also muss man jetzt noch $\begin{eqnarray} Pr~x\bot x-Pr~x \end{eqnarray}$ zeigen und das ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray} \langle Pr~x,x-Pr~x\rangle=0 \end{eqnarray}$ .
01.11.2012, 12:15	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehst du, nur Mut
01.11.2012, 12:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige also $\begin{eqnarray} \langle Px,x-Px\rangle =0 \end{eqnarray}$ . Ich schreibe jetzt mal nur P statt Pr, ist einfacher. Also zunächstmal kann man ja Folgendes machen: $\begin{eqnarray} \langle Px,x-Px\rangle=\langle Px,x\rangle -\langle Px,Px\rangle \end{eqnarray}$ . Dies ist nach Voraussetzung das Gleiche wie $\begin{eqnarray} \langle Px,x-Px\rangle=\langle x,Px\rangle-\langle Px,Px\rangle \end{eqnarray}$ und dies wiederum identisch mit $\begin{eqnarray} \langle Px,x-Px\rangle=\langle x,P^x\rangle-\langle Px,Px\rangle \end{eqnarray}$ . ----- Jetzt würde ich sagen, folgt aus der Annahme noch $\begin{eqnarray} \langle Px,Px\rangle=\langle x,P(Px)\rangle=\langle x,P(x)\rangle=\langle x,P^(Px)\rangle \end{eqnarray}$ und landet damit erstmal bei $\begin{eqnarray} \langle Px,x-Px\rangle=\langle x,P^x\rangle-\langle x,P^(Px)\rangle=\langle x,P^x-P^(Px)\rangle \end{eqnarray}$ . Falls das stimmt, müsste man jetzt nur noch irgendwie darauf kommen, dass das Null ist. Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(P^)^{\bot}=\operatorname{ker}(P) \end{eqnarray}$ , nur noch nicht, wie ich das hier anwenden kann (denn ich gehe davon aus, dass man das hier wohl benötigt). ----Stop! Mache ich's mir nicht viel zu kompliziert, indem ich auch noch $\begin{eqnarray} P^* \end{eqnarray}$ ins Spiel bringe?--- Habe ich nicht weiter oben schon stehen $\begin{eqnarray} \langle Px,x-Px\rangle=\langle x,Px\rangle-\langle x,Px\rangle \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch Null.
01.11.2012, 14:07	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube du meinst das richtige, da geht halt PP = P und P^* = P ein
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01.11.2012, 14:44	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst es dir viel zu kompliziert! Das ist ne Sache von einer Zeile: $\begin{eqnarray} \langle Px, x-Px\rangle = \langle x, P^(x-Px)\rangle= \langle x, P(x-Px)\rangle=\langle x, Px-Px\rangle =0 \end{eqnarray*}$ Du solltest dir aber noch überlegen, dass tatsächlich Kern P ={x-Px: x€ H} gilt.
02.11.2012, 09:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! ---noch eine Frage---- Der Tutor sagt, man solle für die Beweisrichtung $\begin{eqnarray} \mbox{ker}(P)=(\mbox{Im}(P^))^{\bot} \end{eqnarray*}$ verwenden.
02.11.2012, 10:27	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wohl eher Gockel auf dem Matheplaneten?
02.11.2012, 10:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine meinen Tutor.
03.11.2012, 13:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es mag ja sein, dass dein Tutor vllt. einen ähnlichen Tipp gegeben hat, er kam aber eben auch von Gockel auf dem Matheplaneten, zufälligerweise hat er dich da auch nochmal genau an dem Tag drauf hingewiesen an dem du uns mitgeteilt hast, was dein "Tutor" gesagt haben soll. Da ihr euch da ja auch der "schweren Geburt" angenommen habt, wird hier geschlossen und noch einmal auf unser Boardprinzip verwiesen, besonders Punkt 3 unter "Das Erstellen von Beiträgen".

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