Oberflächenintegral

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01.11.2012, 11:03	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegral Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} F : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ das Vektorfeld $\begin{eqnarray} F(x,y,z) = \begin{pmatrix} c_1x +y^z\\ c_2y + 6x -z \\ c_3z - xe^y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_{1} + c_{2} + c_{3} = \frac{3}{4\pi} \end{eqnarray}$ . Bezeichne das Ellipsoid $\begin{eqnarray} \left\{ (x,y,z)\in \mathbb R^3 : \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}\leq 1 \right\} (a,b,c \in \mathbb R^+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial\epsilon \end{eqnarray}$ seinen Rand. Ist $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein Normalbereich? Berechnen sie das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} \int_\partial^{} \! \int_\epsilon^{} \! F\cdot N \, d\sigma \, \end{eqnarray}$ N sei das äußere Normalenfeld von F Meine Ideen: Meine Idee ist hier über den Gaußschen Satz ranzugehen. Das heißt ich berechne erst einmal die $\begin{eqnarray} div F(x,y,z) = c_1 + c_2 + c_3 \end{eqnarray}$ das ist ja dasselbe wie $\begin{eqnarray} \frac{3}{4\pi} \end{eqnarray}$ Nun kann ich ja quasi das Integral aufstellen $\begin{eqnarray} \int_\epsilon^{} \! \int_{}^{} \! \int_{}^{} \! (div F)(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \end{eqnarray}$ Weiter habe ich mir überlegt, wenn das Volumen eines Ellipsoides bekannt ist $\begin{eqnarray} V = \frac{4\pi}{3}abc \end{eqnarray}$ dann müsste doch gelten $\begin{eqnarray} V = \frac{4\pi}{3}abc = \int_\epsilon^{} \! \int_{}^{} \! \int_{}^{} \! (div F)(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \end{eqnarray}$ ich weiß jedoch nicht wie ich die Grenzen meiner Integrale zu wählen habe und auch nicht wie ich zeige, dass die Menge ein Normalbereich ist. Hierzu hatte ich mir überlegt, dass ich zeigen muss, dass die Menge bezüglich der 3 Ebenen, einmal stetig diff'bar sein muss. Kann mir jemand weiterhelfen ? Lg Alex
01.11.2012, 11:39	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Rechnung sollte richtig sein. Um das Integral explizit zu lösen würde ich es als erstes mit elliptischen Koordinaten versuchen, geht aber vielleicht anders auch eleganter. Zur Frage mit dem Normalbereich. Im Grunde geht es ja um den Rand dieser Menge, also diese "komische Kugel" (Ellipsoid?). Jedenfalls gibt es zum Beispiel den Satz vom regulären Wert oder Satz über implizite Funktionen. Dieser liefert dir, dass der Rand eine glatte Manningfaltigkeit ist etc. Weiss jetzt aber nicht ob ihr das schon hattet. mfg
01.11.2012, 12:00	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sagt mir jetzt explizit nichts mit dem Normalbereich^^ also nochmal zur Oberfläche. Ich habe mich mal so versucht : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} <br /> <br /> det(...) = abc<br /> <br /> \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} asin(\theta)cos(\phi) \\ bsin(\theta)sin(\phi) \\ ccos(\theta) \end{pmatrix} <br /> <br /> \int_0^\pi \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^1 \! \frac{3}{4\pi}abc \, dr \, d\phi \, d\theta = \frac{3\pi}{2}abc \end{eqnarray}$ Ist das so richtig ? zum Normalbereich. Ich habe eine Definition 17.2) Eine Menge $\begin{eqnarray} G \subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ - Normalbereich bzgl. der $\begin{eqnarray} x_1x_2 \end{eqnarray}$ -Ebene, wenn es ene kompakte Menge $\begin{eqnarray} K \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und stetig diff'bare Funktion $\begin{eqnarray} \phi_1 \phi_2 : K \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gibt, dass $\begin{eqnarray} G = \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^3 : (x_1,x_2) \in K, \phi_1(x_1,x_2) \leq x_3 \leq \phi_2(x_1,x_2)\right\} \end{eqnarray}$ gilt und dass der Rand $\begin{eqnarray} \partial K \end{eqnarray}$ durch einen stückweise stitig diff'baren Weg darstellbar ist. Analog erklärt man $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ - Normalbereiche bezüglich der $\begin{eqnarray} x_2x_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1x_3 \end{eqnarray}$ Ebene.
01.11.2012, 12:14	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung ist richtig. Nach deiner Definition ist das ganze auch ein Normalbereich. Mit deiner ersten Überlegung transformierst du deine Ellipse in eine Kugel. Überlege dir wieso es ausreicht zu zeigen, dass die Einheitskugel ein Normalbereich ist. Für die Kugel selbst reicht es wegen der symmetrie aus nur eine Ebene, sagen wir x1x2, zu betrachten. Den Rest sehen wir dann später, falls nötig Edit: du kannst die Definition auch direkt für die Ellipse benutzen, aber ich glaube für eine Kugel habt ihr das evtl. schon gezeigt und man spart sich so arbeit. mfg
01.11.2012, 12:25	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke erst mal ich mach mir sofort darüber Gedanken. Ich bin mit meinem gerechneten Oberflächen Ergebnis irgendwie nicht so zufrieden. Wenn ich das doch integriere muss das Volumen des Ellipsoids rauskommen ... tuts aber nicht. Ich hab glaube ich einen Fehler bei der Matrix gemach und deren Determinante. muss da nicht stehen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> <br /> det(...) = 1 \end{eqnarray}$ Dann kommt als Ergebnis raus $\begin{eqnarray} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ aber wenn ich das integriere nach abc dann bekomme ich immer noch nicht das gewünschte Volumen ?
01.11.2012, 12:33	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, ich habe deine Rechnung zu voreingenommen angeschaut, ne da passt bei dir was nicht. Du hast $\begin{eqnarray} div(F) = \frac{3}{4\pi} \end{eqnarray}$ und damit erhälst du $\begin{eqnarray} \int div(F) dxdydz = \frac{3}{4\pi} V(ELLIPSIOD) = \frac{3}{4\pi}\frac{4\pi}{3}abc = abc \end{eqnarray}$ . Das zu deinem ersten Post. Wenn du die Substitution durchführst, dann musst du auch beim Wechsel zu Kugelkoordinaten die Jakobideterminante auch mitnehmen, das ändert dann entsprechend dein Ergebnis Bei deinem letzten Post weiss ich nicht welche Matrix du da genau meinst, aber wenn du den Satz von Gauss angewendet hast musst du ja über ein Volumen und keine Oberfläche integrieren Edit: und lasse die a,b,c bei den Kugelkoordinaten weg, bzw. ersetze diese durch einen Radius r!
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01.11.2012, 12:45	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man jetzt hast du mich total verwirrt Ich machs einfach nochmal. Weiß gerade nicht was ich so wirklich falsch gemacht habe, also : Die Deterinante meiner Funktionalmatrix(Jacobimatrix) ist doch $\begin{eqnarray} abc \end{eqnarray}$ Das heißt ich hab folgendes zu integrieren : $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^1 \! \frac{3}{4\pi}abc \, dr \, d\phi \, d\theta \end{eqnarray}$ Stimmt das denn jetzt ? Hier ist schon alles in Kugelkoordinaten umgewandelt worden und die Determinante sollte ich hier auch bereits beachtet haben ?
01.11.2012, 13:33	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das stimmt eben nicht. Du führst zwei Substitutionen durch. Einmal zu den y Koordinaten, da hast du die richtige Funktionaldeterminante abc Anschliessend wechselst du zu Radius , phi, Theta. Dort hast du aber die Funktionaldeterminante garnicht eingebracht. das meinte ich
01.11.2012, 14:47	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn hier die Transformation aus ? Ich stehe gerde wirklch auf dem Schlauch. Ich denke da an irgendwas wie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(\theta)cos(\phi) & rcos(\theta)cos(\phi) & -rsin(\theta)sin(\phi) \\ sin(\theta)sin(\phi) & rcos(\theta)sin(\phi) & rsin(\theta)cos(\phi) \\ cos(\theta) & -rsin(\theta) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ \phi \\ \theta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(...) = r^2sin(\theta) \end{eqnarray}$ und jetzt hängt das ganze Integral doch nur von $\begin{eqnarray} abc \end{eqnarray}$ ab. Das mit meinen Grenzen muss richtig sein, aber was ist mit dem Ausdruck abc ? Den muss ich doch jetzt als Konstante vors integral setzen oder nicht ? Dann erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{3}{4\pi}abc \int_0^\pi \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^1 \! r^2sin(\theta) \, dr \, d\phi \, d\theta \end{eqnarray}$ Wie kommst du denn da auf dein Endergebnis ?
01.11.2012, 15:26	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Gott sorry ich bin so blind ... meine letzte Rechnung ist richtig ... Jetzt seh ichs $\begin{eqnarray} \int_\epsilon^{} \! div F(x,y,z) \, d(x,y,z) = \frac{3}{4\pi} \int_\epsilon^{} \! 1 \, d(x,y,z) = \frac{3}{4\pi}V = \int_{\partial\epsilon}^{} \! F\cdot N \, d\sigma = abc <br /> <br /> V = \frac{4\pi}{3}abc <br /> A_{o} = abc \end{eqnarray}$
01.11.2012, 15:43	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Normalbereich. Ich kann deine Aussage, dass ichs nur für ne Kugel zeigen muss nachvollziehen denke ich, denn ist a = b = c = r dann ist das ganze Ding eine Kugel. Also folgt eine Kugel ist ein besonderes Ellipsoid oder auch jede Kugel ist ein Ellipsoid. Ist das so korrekt ? da jetzt das Ellipsoid für <= 1 definiert ist reicht es auch, wenn ich das Gebiet einer Einheitskugel betrachte. Außerdem könnte ich auch sagen dass das Ellipsoid bzw. dessen Rand von der Einheitskugel eingegrenzt wird. Das heißt aber auch die Mege ist auf jedenfall Jordan-Messbar. Ich hoffe das stimmt nur weiß ich noch nicht wie mir das neue Gebiet nun beim normalbereich weiterhelfen soll. ir haben den Beweis für die Kugel leider auch nicht geführt ... tut mir leid dass ich dich so aufhalte, du hast bestimmt auch besseres zu tun

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