Kombinatorik Mengen

01.11.2012, 11:34

grafzahl123

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Kombinatorik Mengen

Von 497 Personen wurden in gleicher Anzahl "Der Merkur", "Der Spiegel" und "Die Zeit" gelesen. Eine genaue Analyse zeigt:
26 lesen Spiegel und Zeit
50 lesen Merkur und Zeit
38 lesen Spiegel und Merkur
11 lesen alle drei Zeitschriften

Wieviele Personen lesen nur den Merkur?

Zunächst einmal hat mich das "in gleicher Anzahl" verwirrt. Ich hab mir dann überlegt, dass das bedeutet das die Kardinalität der Mengen S (Spiegel), M (Merkur und Z (Zeit) gleich groß aber in der Summer NICHT 497 sein muss, also
$\begin{eqnarray*} \left[S\right]= \left[M\right]=\left[Z\right]=? \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left[S\right]+ \left[M\right]+\left[Z\right]\neq 497 \end{eqnarray*}$
aber
$\begin{eqnarray*} S\cap M \cap Z= 497 \end{eqnarray*}$

Weiterhin hab ich mir überlegt, dass ja 11 Leute in allen 3 Mengen vorkommen. Die müsste ich doch eigentlich einfach rausnehmen können, also
497-11=486
Außerdem sind in der Menge der Personen, die Spiegel lesen 26+38=64 Personen drin die 2 Zeitschriften lesen. In M kann man 26+50=76 Personen aus der Menge streichen, die 2 Zeitschriften lesen und aus Z kann man 50+38=88 Personen streichen.
jetzt hab ich mir überlegt, dass das die Personen sind die in der Umfrage mehrfach gezählt wurden und habe die Summe derer (64+76+88=228) zu den 486 addiert,also
486+228=714 und dann durch 3 geteilt (weil ja die Kard. aller Mengen gleich groß ist).

Aber leider hat das irgendwie doch nicht geklappt :-( kommt zumindest meiner ansicht nach nix sinnvolles raus.

Vielleicht kann mir jemand helfen oder sagen wo ich nen fehler gemacht habe.

Schon mal vielen dank im voraus.

Schöne Grüße,

Grafzahl

01.11.2012, 11:45

DHD

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Schlag mal das Stichwort Siebformel nach.

01.11.2012, 11:51

grafzahl123

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Danke erstmal für deinen Tipp.

ich hab hier auch schon mal die suchfunktion benutzt und bin auf das "prinzip von inklusion und exklusion" gestoßen. aber wenn ich das auf wikipedia nachschlage (bei siebformel wird man dahin weitergeleitet) versteh ich nur bahnhof.
kann man das nicht irgendwie mit abzählen lösen?

01.11.2012, 11:56

DHD

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Das "prinzip von inklusion und exklusion" tut's hier auch, ist ein Spezialfall der Siebformal (mit Zählmaß).

Natürlich kann man das mit Abzählen lösen. Systematisches "abzählen" führt aber genau zur Siebformel /prinzip von inklusion und exklusion.

Was verstehst du nicht?

01.11.2012, 12:08

grafzahl123

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bis vor ca. 30Min. hab ich noch nie was von der Siebformel gehört :-)
Hast du vielleicht irgend nen Link auf dem das gut erklärt ist? dann würd ich mich damit mal näher auseinandersetzen.
Und bei Fragen würde ich mich dann nochmal später melden.

Danke für deine Mühen!

01.11.2012, 13:15

Math1986

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Es wurde hier schon auf Wikipedia verwiesen, da ist das ganz gut erklärt. Es nennt sich dort zwar "prinzip von inklusion und exklusion", im Wesentlichen ist es aber das selbe.

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01.11.2012, 16:20

grafzahl123

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okay. ich hab mir das mal angeguckt und versucht auf meine aufgabe zu beziehen:
Die Formel lautet ja:
$\begin{eqnarray*} S\cup M\cup Z=| S |+| M |+| Z |-| S\cap M |-| M\cap Z |-| S\cap Z |+| S\cap M\cap Z | \end{eqnarray*}$
so, jetzt was ich alles hab:
$\begin{eqnarray*} S\cap M=38 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S\cap Z=26 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z\cap M=50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S\cap M\cap Z=11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S\cup M\cup Z=497 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 497=| S |+| M |+| Z |-38-50-26+11 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 497=| S |+| M |+| Z |-103 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 600=| S |+| M |+| Z | \end{eqnarray*}$
=> da gilt $\begin{eqnarray*} | S |=| M |=| Z | \end{eqnarray*}$ folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} | S |=| M |=| Z |=200 \end{eqnarray*}$

nur wieviele lesen jetz nur den Merkur?
etwa 200-11-38-50=101 Personen?

wäre cool, wenn nochma jemand was dazu schreiben könnte

01.11.2012, 17:15

HAL 9000

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Auch dazu kannst du wieder die Siebformel benutzen, allerdings die einfache und wohlbekannte für nur zwei Mengen: Du suchst ja

$\begin{eqnarray*} |M\setminus (S\cup Z)| = |M\setminus ((S\cup Z) \cap M)| = |M| - |(S\cap M) \cup (Z \cap M)| = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |M| - |S\cap M| - |Z \cap M|~{\color{red}+}~|S\cap Z \cap M| \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Zeilenumbruch eingefügt und so die Überbreite des gesamten Threads reduziert.

01.11.2012, 17:26

grafzahl123

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okay. war das was ich bis dahin gerechnet hab den richtig?

mit deinem tip hab ich dann:
M=123 lesen NUR Merkur (M=200-38-50+11)
S=147 lesen NUR Spiegel (S=200-26-38+11)
Z=135 lesen NUR Zeit (Z=200-26-50+11)

hoffe das leiden hat jetzt ein Ende :-)

01.11.2012, 18:17

HAL 9000

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Ja, stimmt soweit.

02.11.2012, 16:20

Primin

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hey, glaube das ist falsch. wir besuchen ja die gleiche vorlesung, dementsprechend habe ich mich auch schon mit der aufgabe auseinander gesetzt. du solltest beachten das in der aufgabenstellung steht das diese 3 Zeitungen in gleicher anzahl gelesen werden.

02.11.2012, 16:28

Primin

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also ich habs folgendermaßen gerechnet. es gibt 497 personen die lesen...davon lesen manche aber doppelt oder dreifach.
26 lesen S & Z
50 lesen M & Z
38 lesen S & M
und 11 lesen M & S & Z
ich habe nun als erstes die personen die doppelt lesen auch doppelt gezählt( sie sind ja in den 497 schon enthalten also einfach nochmal drauf rechnen, bei den dreichfach-lesern dreifach rechnen)
also: 497 + 26 +50 +38 +11+11= 633
die zahl ist durch drei teilbar 633 : 3 = 211....also jede zeitung wird 211 mal gelesen
und um a) b) und c) raus zu bekommen einfach die jeweiligen zahlen von 211 abziehen.
a)211 -50 -38 -11 = 112
b)211 -26 -50 -11 =124
c) 211 -26 -38 -11 =136 ->->->->->-> 112+124+136=372

02.11.2012, 22:04

grafzahl123

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klingt auch gut. mein problem ist gerade nur, dass ich kein argument finde welches gegen meine oder gegen deine lösung spricht.
kennst du ein argument das gegen meine lösung spricht?

02.11.2012, 22:15

HAL 9000

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So leicht aus dem Tritt zu bringen - böse, böse

Zitat:

Original von grafzahl123
mein problem ist gerade nur, dass ich kein argument finde welches gegen meine oder gegen deine lösung spricht.

Aber gern: Ergänzen wir doch noch die Anzahlen derjenigen, die genau zwei Zeitungen lesen, d.h..

d) S & Z, aber nicht M = 26 - 11 = 15
e) M & Z, aber nicht S = 50 - 11 = 39
f) S & M. aber nicht Z = 38 - 11 = 27

Und dann haben wir natürlich noch die Leute, die alle drei Zeitungen lesen:

g) S & Z & M = 11 (nach Voraussetzung)

Die Summe der Anzahlen aus a)-g) muss die Gesamtzahl 497 aller Studenten ergeben. Dann überprüfe das mal, dann hat deine Wankelmütigkeit hoffentlich ein Ende.

@Primin

Allem Anschein nach deutest du

26 lesen S & Z
50 lesen M & Z
38 lesen S & M

so, dass das jeweils die Anzahlen der Leute sind, die genau diese zwei Zeitungen lesen. Ja, Sprache ist ungenau, ich bin wie Math1986 der Auffassung, dass das hier nicht so zu sehen ist.

03.11.2012, 00:32

Dopap

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RE: So leicht aus dem Tritt zu bringen - böse, böse

Zitat:

Original von HAL 9000
@Primin
Allem Anschein nach deutest du

26 lesen S & Z
50 lesen M & Z
38 lesen S & M

so, dass das jeweils die Anzahlen der Leute sind, die genau diese zwei Zeitungen lesen. Ja, Sprache ist ungenau, ich bin wie Math1986 der Auffassung, dass das hier nicht so zu sehen ist.

na ja, wenn es die Angabe gibt, dass es genau 11 gibt, die alle 3 Zeitungen lesen, was hat dann obige Liste für einen Sinn, wenn nicht genau gemeint ist ?

Jedenfalls im normalen Sprachgebrauch.

Sonst müsste man ja sagen:

26 lesen mindestens S & Z
50 lesen mindestens M & Z
38 lesen mindestens S & M

so richtig ?
jetzt unabhängig davon, welche faktische Kraft die Angaben insgesamt haben.

03.11.2012, 02:35

Kasen75

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Hallo,

ich habe mich auch mal mit der Aufgabe befasst. Nach meiner Analyse sind hier mehrere Lösungen möglich.

edit:
Ich habe dazu folgendes Gleichungssystem aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} a+b+c+d+e+f+g+h=497 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+f=26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+c=50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b=38 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b+c+d=a+b+e+f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b+e+f=b+c+f+g \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen.

03.11.2012, 10:17

HAL 9000

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@Dopap

Mach doch was du willst, ich bin es leid zu streiten, da du ja anscheinend immer die Kontraposition einnimmst, egal ob vernünftig oder nicht. Vielleicht gibt grafzahl123 ja irgendwann mal eine Rückmeldung, wie es nun tatsächlich gemeint war.

03.11.2012, 10:58

Mystic

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Zitat:

Original von Primin

also: 497 + 26 +50 +38 +11+11= 633

Hier steckt der Fehler: Statt 11 noch zweimal zu addieren, muss man 11 im Gegenteil einmal abziehen, da es schon dreimal in den Zahlen 26,50 bzw. 38 enthalten ist...

03.11.2012, 11:13

HAL 9000

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Da wirst du wohl auf taube Ohren stoßen. Zumindest Dopap scheint steif und fest der Meinung zu sein, dass die Angaben der Aufgabe als

$\begin{eqnarray*} |(S \cap Z)\setminus M| &=& 26<br /> |(M \cap Z)\setminus S| &=& 50<br /> |(S \cap M)\setminus Z| &=& 38 \end{eqnarray*}$

zu lesen sind. Bei Primin bin ich mir (was die Festigkeit betrifft) nicht so sicher, aber seine Rechenmethodik legt nahe, dass er das ebenfalls so sieht.

EDIT: Sorry, hatte mich verschrieben mit $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ - korrigiert. (Die machen einen noch ganz verrückt hier.)

03.11.2012, 11:20

Mystic

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Ja, Dopap spielt gern so wie der Mephisto im "Faust" die Rolle des "Geists, der stets verneint"... Big Laugh

Big Laugh

Nachdem ich ihn in einem anderem Thread gerade gelobt habe, darf ich dies hier vielleicht sagen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 11:33

Leopold

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Nachdem schon alles gesagt wurde, nur noch nicht von allen, will auch ich meinen Senf dazugeben. Ich stelle alles an einem Venn-Diagramm dar. Die Anzahlen sind in die jeweiligen Schnittflächen eingetragen. Zunächst kann man $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ aus den Angaben der Aufgabe berechnen:

$\begin{eqnarray*} u+11 = 26 \, , \ \ v+11 = 50 \, , \ \ w+11 = 38 \end{eqnarray*}$

[attach]26484[/attach]

Nachdem $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ bekannt sind, kommt jetzt die Bedingung, daß jede Zeitschrift von gleich vielen gelesen wird, in knapper Darstellung:

Merkur = Spiegel:
$\begin{eqnarray*} x+11+v+w = y+11+w+u \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x-y = u-v \end{eqnarray*}$

Merkur = Zeit:
$\begin{eqnarray*} x+11+v+w = z+11+u+v \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x-z = u-w \end{eqnarray*}$

Und dann noch die Gesamtzahl der Leser:
$\begin{eqnarray*} x+y+z+u+v+w+11 = 497 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x+y+z = 486 - (u+v+w) \end{eqnarray*}$

Somit hat man jetzt noch ein lineares Gleichungssystem zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u-v \\ u-w \\ 486 - (u+v+w) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P.S.
Über das logische "und" und das logische "oder" sollten wir uns nicht streiten ...
Schließlich sind wir hier in der Mathematik und nicht bei einem juristischen Seminar.

03.11.2012, 15:07

grafzahl123

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in 2 wochen besprechen wir das übungsblatt. dann schreib ich nochmal schnell was die gewollte lösung ist.

aber vielen dank für die vielen tipps und anregungen.

03.11.2012, 15:52

Mystic

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Zitat:

Original von grafzahl123
in 2 wochen besprechen wir das übungsblatt. dann schreib ich nochmal schnell was die gewollte lösung ist.

Ganze 2 Wochen wollst du uns hier auf die Folter spannen? geschockt

geschockt

Du könntest ja vorher schon mal beim Leiter der Übungsgruppe anfragen, wie die Angabe genau zu interpretieren ist, bevor hier die Diskussion abebbt... Big Laugh

Big Laugh

03.11.2012, 15:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach komm schon - Vorfreude, schönste Freude... Big Laugh

Big Laugh

04.11.2012, 22:45

Primin

Auf diesen Beitrag antworten »

ja..die aufgabe ist echt etwas für erbsenzähler. Je nach dem wie man sie versteht kommen natürlich andere lösungen raus. das problem sehe ich generell bei vielen Wahrscheinlichkeitsaufgaben. Also für mich ist die aussage das die Leute genau 2 zeitungen lesen..nicht mehr und nicht weniger...bzw 3 Zeitungen...wobei die leute die drei Zeitungen lesen natürlich nicht bei den leuten aufgezählt sind welche nur zwei lesen.

04.11.2012, 22:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da zähle ich gern noch ein paar Erbsen:

Zitat:

Original von Primin
wobei die leute die drei Zeitungen lesen natürlich nicht bei den leuten aufgezählt sind welche nur zwei lesen.

"Natürlich" ist das ganz und gar nicht, zumal bei den drei genannten Anzahlen 26, 50 und 38 nirgendwo von "nur zwei" die Rede ist. Und das mit dem "genau drei" wissen wir auch nicht so genau: Es ist unbekannt, ob von denen nicht auch ein paar noch Stern oder Focus lesen, jedenfalls sind es 11, die die drei genannten Zeitungen - und ggfs. auch noch andere - lesen. Und genauso könnte man sagen, dass es eben 26 sind, die Spiegel und Zeit - sowie ggfs. noch andere wie Stern, Focus oder eben Merkur - lesen. Ich verwende jetzt nicht "natürlich" für diese Sichtweise, aber sie ist ebenso berechtigt, wie die andere.

Den Rest überlassen wir doch der "Auflösung" durch grafzahl123. smile

smile

P.S.: Hätte übrigens in der Aufgabenstellung

26 lesen nur Spiegel und Zeit

gestanden, wäre ich sofort auf eurer Seite. Steht aber nicht da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2012, 21:05

Primin

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So hier kommt die Lösung.
Es gibt mehrere Lösungen laut unserm Professor.
Die gedachte, richtige, Lösung wäre die von Leopold mit dem Venn-Diagramm.
Solange man aber seine eigene Interpretation der Aufgabe argumentieren kann und der Rechenweg nachvollziehbar ist, kann es auch andere Lösungen geben die als richtig gewertet werden.

05.11.2012, 21:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Primin
Solange man aber seine eigene Interpretation der Aufgabe argumentieren kann und der Rechenweg nachvollziehbar ist, kann es auch andere Lösungen geben die als richtig gewertet werden.

Dieses Nachgeben ist sicher nicht die schlechteste Idee vom Professor, wenn die Studenten klar zu verstehen geben, wie sie die Ausgangsdaten (miss)interpretiert haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2012, 21:13

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@Primin

schön, dass die Lösung da ist. smile

smile

Zitat:

Es gibt mehrere Lösungen laut unserm Professor.

Schade, dass mein Ansatz insgesamt so wenig Wiederhall gefunden hat.

05.11.2012, 21:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es haben ja mehrere diese Fraktion vertreten (DHD, Math1986, HAL9000, Kasen75, Leopold) - aber Leopold hat klar das schönste Bildchen gezeichnet, da muss also keiner eifersüchtig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2012, 21:23

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen75: auf ein LGS wollte ich eigentlich auch hinaus. Aber meine Interpretation des Sachverhaltes wurde trotz einem "richtig so ?" ziemlich heftig angegangen. Schade !

05.11.2012, 21:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun versuch mal nicht, den "Gnadenakt" des Profs in einen Sieg umzuinterpretieren. Sei lieber froh über diesen salomonischen Spruch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2012, 21:59

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000

Was für ein "Gnadenakt"?

Entweder es ist richtig oder falsch. Und richtig ist hier, dass es mehrere Lösungen gibt.
Da gibt es zum Glück kein Interpretationsspielraum.

Grüße.

05.11.2012, 22:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasen75
Und richtig ist hier, dass es mehrere Lösungen gibt.

Das würde ich so nicht formulieren: Es gibt wegen sprachlicher Schwächen der Aufgabenformulierung mehrere Interpretationsmöglichkeiten der Daten - aber pro Interpretationsmöglichkeit nur jeweils eine Lösung. Das ist ein Unterschied!

05.11.2012, 22:12

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich vielleicht doch die falsche Lösung.
Bei mir kommt tatsächlich raus, dass es bei einer einzigen Interpretation der Daten es mehrere Lösungen gibt. Mein Gleichungssystem ist ja unterbestimmt.
Mehr Daten habe ich einfach nicht gefunden.

05.11.2012, 22:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, ich nehme an, $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist bei dir die Anzahl der Personen, die gar keine der drei Zeitungen lesen?

So sehr sich die beiden Parteien hier gestritten haben, so waren sich doch eigentlich alle darin einig, dass $\begin{eqnarray*} h=0 \end{eqnarray*}$ ist, d.h., dass jeder der 497 zumindest eine der drei Zeitungen liest. Damit wird es wohl auch bei dir eindeutig, oder?

05.11.2012, 22:39

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000:
Was mich betrifft, kannst du davon ausgehen, dass ich aus dem Alter raus bin, wo man sich oder Anderen was beweisen muss.
Das mit dem LGS ist deshalb für mich klar, weil desweilen solche Aufgaben bei Schülern auftauchen, bei denen aber die ganze Mengenschreibweise so gut wie unbekannt ist. Da ja der TR vorhanden sind, die ein grösserers LGS bequem lösen können, rate ich dann pragmatischerweise zu dem LGS, das auf disjunkten Mengen beruht. Es besteht dann "nur" noch die Aufgabe gewissen Summen Zahlen zuzuordnen.
Wenn die Formulierungen klar waren, hat das auch immer ganz gut geklappt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das zum Hntergrund.

Warum meine Post so auf Ungnade stieß, ist mir noch nicht klar. Ich kann es mir so erklären: unmittelbares Nachposten ( mit evtl. abweichender Meinung ) empfindet man manchmal so , als ob Zweifel bestünden , dass man nicht Herr der Lage sei. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2012, 22:43

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000

Dann fall ich wohl aus den beiden Interpretationsgruppen heraus. Bei mir kann h (gute Annahme) durchaus den Wert 0 annehmen, muss aber nicht. Es kann also sein, dass jemand oder mehrere keine der drei Zeitungen lesen.
So habe ich es aus der Aufgabe rausgelesen.
Somit gehöre ich zur dritten Partei, als einziges Parteimitglied.

Jedenfalls vielen Dank, dass du dich mit meinem Lösungsversuch beschäftigt hast.

Grüße.

05.11.2012, 22:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es muss auch Kleinparteien geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Entschuldige, dass ich dich da irrtümlich der Leopold-Partei zugeschlagen habe, aber da das im Spezialfall h=0 dasselbe ist, ernenne ich dich zumindest zum Koalitionspartner. Big Laugh

Big Laugh

05.11.2012, 23:27

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

wir wäre es mit einer Abstimmung? Ich bin für 200 = |S| = |M| = |Z|. |nur M| = 101.

Gruß
Peter

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