Warum 1/3GH ?? (Kegel)

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14.07.2004, 19:26

No Name

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Warum 1/3*G*H ?? (Kegel)

Könnte mir jemd. bitte sagen, warum die Formel für die Volumenberechnung wie genannt lautet ?

14.07.2004, 19:44

Mathespezialschüler

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RE: Warum 1/3*G*H ?? (Kegel)
Weils so is. Ne mal im Ernst:
Du musst schon n bisschen genauer sagen, was du willst, einen richtigen Beweis oder ne triviale Erklärung (die gibts mMn aber gar nicht).

Ich kenn bis jetz zwei Beweise, die ich auch selbst durchgeführt habe:

1. Du leitest dir die gleiche Formel für Pyramiden her. Dann mit dem Satz des Cavalieri auf Kegel übertragen.

2. Du machst es, indem du die Höhe in n gleich lange Teilstrecken teilst und dann n Zylinder mit der Höhe h/n um- und (n-1) Zylinder mit der gleichen Höhe h/n einschreibst, eine Formel für die Summe der Volumina der Zylinder bestimmst (Tipp: Zentrische Streckung für die Grundflächen) und mal n gegen unendlich laufen lässt.

3. Einen dritten kenne ich zwar nicht, aber ich denke mal, es geht bestimmt irgendwie als Rotationskörper und somit Integration.

14.07.2004, 19:58

No Name

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Ich hab mir grad den Stz des Cavalieri angeguckt. Meine Frage war bezüglich dem 1/3 . Dies hat sich jedoch jetzt erledigt.
Ausgangspunkt für das ganze war eine Aufgabe: Wie gross ist h, wenn ein Kegel zur hälfte befüllt wird.

Wenn du da vielleicht eine kleine Idee bzw. einen Anstoss hättest wäre das toll.

Danke

14.07.2004, 20:00

Mathespezialschüler

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Du meinst mit h die Füllhöhe oder??

Schonmal was von zentrischer Streckung gehört??

14.07.2004, 20:08

No Name

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Klar.
Es gilt: die hälfte der höhe ist gleich der hälfte des Radius.

Die Aufgabe verlangt nach einer Lösung, ich habe jedoch 2 unbekannte.

14.07.2004, 20:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von No Name
Klar.
Es gilt: die hälfte der höhe ist gleich der hälfte des Radius.

Nein!! Dann wären Höhe und Radius gleich. Überleg mal:

Das Streckzentrum ist die Spitze. Der gefüllte (oder nichtgefüllte, kommt drauf an, wie der Kegel steht, wenn er mit der Spitze auf dem Boden steht, dann der gefüllte) Teil ist ein Kegel, der somit durch zentrische streckung aus dem gesamten Kegel hervorgeht.

Du weißt, dass sich das Volumen halbiert hat, mit der Eigenschaft der zentrischen Streckung, dass das Verhältnis der Volumina gleich der dritten Potenz des Streckfaktors ist, kommst du weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{V'}{V}=k^3 \end{eqnarray*}$

Für Längen gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{h'}{h} = k \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du weiterkommen, indem du bekanntes einsetzt.

14.07.2004, 20:21

No Name

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Zitat:

Jetzt solltest du weiterkommen, indem du bekanntes einsetzt.

Da liegt das grösste Problem, es gibt nämlich keine angaben zu höhe radius, s usw.

14.07.2004, 20:28

Mathespezialschüler

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Du weißt:

$\begin{eqnarray*} V' = \frac{1}{2}V \end{eqnarray*}$ !!

Somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{V'}{V} = \frac{\frac{1}{2}V}{V} = \frac{1}{2} = k^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{h'}{h} = k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow h' = k\cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot h = \frac{h}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$

Fertig!!! Ganz schnell und einfach ohne große Rechnerei! Du sollst nämlich, so wie die Aufgabe gestellt ist, nur die Füllhöhe in Abhängigkeit der Kegelhöhe bestimmen!!!!!
Jetzt musst du nur noch sagen, wie rum denn der Kegel steht.

14.07.2004, 20:39

No Name

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ahrrt, das ärgert mich jetzt, so einfach :P :P :P
Hätt ich bei der Zentrischen Streckung mehr aufgepasst *gg*. Du hast mich dazu gebracht, dass ich mir das Thema nochmal verinnerliche *g*
Vielen Dank !!

14.07.2004, 20:41

No Name

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:P <-Hab gedacht, das wäre der 'Kopfhammer' Smily

14.07.2004, 20:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Jetzt musst du nur noch sagen, wie rum denn der Kegel steht.

Und wie rum soller denn stehen? Is nämlcih wichtig für die Füllhöhe!!

Zitat:

Original von No Name
Du hast mich dazu gebracht, dass ich mir das Thema nochmal verinnerliche *g*
Vielen Dank !!

Und zusätzlich zu dieser Aufgabe gleich noch was bewirkt. *stolz sei*

Zitat:

Original von No Name
:P <-Hab gedacht, das wäre der 'Kopfhammer' Smily

Is es doch oder wie sieht das für dich aus??

14.07.2004, 21:16

No Name

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Der Kegel steht wie ein Sektglas.

Der Smily soll 'Zunge raus' darstellen, kommt jedenfalls als beschreibung wenn du die Maus drauf fahren lässt.

14.07.2004, 21:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von No Name
Der Kegel steht wie ein Sektglas.

Der Smily soll 'Zunge raus' darstellen, kommt jedenfalls als beschreibung wenn du die Maus drauf fahren lässt.

Ja, stimmt.

Wenn es so steht, dann ist das, was oben steht auch wirklich die Höhe Augenzwinkern

17.07.2004, 14:16

Ghost

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Du kannst die Formel $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} * Ag * h \end{eqnarray*}$

auch so herleiten.

Du kennst die Formel einer Pyramide, nehmen wir mal eine mit 4 eckiger Grundfläche

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} Ag * h \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt die Eckenanzahl erhöhst also ein n-Eck, so nähert sich das dem Kreisumfang. Sprich: Der Kreisfläche.

Deshalb

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} * Ag * h \end{eqnarray*}$

Und warum für die Pyramide

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} Ag * h \end{eqnarray*}$

gilt, ist folgendes:

Du hast ein dreiseitiges gerades Prisma: ABCDEF (musst du dir jetzt räumlich gut vorstellen können)

Die Grundfläche ist ein Dreieck ABC und die Deckfläche ebenfalls DEF

A liegt unter D
B unter E
C unter F

Jetzt kannst du dir 3 Pyramiden eindenken:

O mann, das ist schwer ohne Bilder zu erklären.

Auf jedenfall kannst du dann darüber beweisen, dass jedes der Pyramide genau 1/3 des Prismas ist.

Über den Satz des Cavalieri (wurde schon angesprochen) kannst du das dann verallgemeinern.

17.07.2004, 20:12

Mathespezialschüler

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@Ghost

Wenn du dir den ganzen Thread durchgelesen hättest, hättest du gesehen, dass diese Frage sich schon erledigt hat und es eigentlich nur um das 1/3 ging!

Zitat:

Original von No Name
Meine Frage war bezüglich dem 1/3 . Dies hat sich jedoch jetzt erledigt.

18.07.2004, 18:01

flixgott

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diesen typ von aufgaben kann man aber auch ganz leicht lösen in dem man den kegel als ein rotationskörper an nimmt.
@mathespezialschüler: damit läßt sich auch die volumenformel trivial erklären

18.07.2004, 18:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von flixgott
diesen typ von aufgaben kann man aber auch ganz leicht lösen in dem man den kegel als ein rotationskörper an nimmt.
@mathespezialschüler: damit läßt sich auch die volumenformel trivial erklären

1. Was hat die Aufgabe mit einem Rotationskörper zu tun?? Ich weiß, dass der Kegel ein Rotationskörper ist, aber wo hilft das bei der Aufgabe??

2. Wie lässt sich damit die Volumenformel "trivial" erklären??

18.07.2004, 18:43

flixgott

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warte.. ich denke mal kurz nach

18.07.2004, 18:49

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von flixgott
warte.. ich denke mal kurz nach

:P

Wie wärs mit erst denken, dann schreiben?! :P

18.07.2004, 19:11

flixgott

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na ich hab mir keine konkrete lösung zu recht gelegt, wollte ja nur den anstoß für eine idee geben..
du brauchst eine funktion, die die fläche der kreise in abhängigkeit von der schnitthöhe im kegel (parallel zum boden) berechet. diese sollte quadratisch sein. über diese mußt du dann integrieren (daher kommt das 1/3).. und wenn du dann 'nicht alle' kreise nimmst (als nicht irgendwo in der mitte des kegels stoppst) dann sollt man das volumen doch auch für beliebige 'füllhöhen' berechnen können.

18.07.2004, 19:18

Mathespezialschüler

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Ja gut, dass sich die Volumenformel mit Integration herleiten lässt, hab ich ja schon gesagt, das is mir auch klar. Aber 1. kann ich eigentlich noch gar nich integrieren :P, weiß nur, dass man damit das Volumen von Rotationskörpern berechnen kann und 2. gings ja in der eigentlichen Aufgabe auch gar nicht um die Volumenformel, aber das is ja egal.
Augenzwinkern

edit: Also, ich hab da nochmal drüber nachgedacht. Mir schien deine Idee, die jeweilige Kreisfläche so darzustellen, etwas zu kompliziert bzw. ich weiß nich, ob sie funktioniert, hab ich noch nich ausprobiert, aber ne andere Lösung hab ich gefunden. Ich hab zwar gesagt, ich könnte noch nich integrieren, damit meine ich aber nur, dass ich die ganzen Methoden noch nich kenn, ich weiß aber, dass die Ableitung der Integralfunktion die Ausgangsfunktion ergibt bzw. Integrieren das Umkehren des Differenzierens ist. Damit lässt sich ja auch schon n bisschen anfangen. Ich hab in meinem Tafelwerk mal was zu Rotationskörpern gesehen und da hatte ich die Idee, es genauso wie da zu machen. Und zwar steht da:

Wenn eine Funktion y=f(x) gegeben ist, und das Flächenstück, was zwischen dem Graphen der Funktion für $\begin{eqnarray*} a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$ , den Parallelen zur y-Achse durch $\begin{eqnarray*} x_1 = a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 = b \end{eqnarray*}$ und der x-Achse liegt, rotiert um die x-Achse, dann gilt für das Rotationsvolumen:

$\begin{eqnarray*} V_x = \pi \cdot \int_{b}^{a}~y^2~dx = \pi \cdot \int_{b}^{a}~(f(x))^2~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt übertrage ich das auf den Kegel. Es sei eine lineare Funktion y = mx gegeben (also durch den Ursprung). Diese stelle eine Mantellinie des Kegels dar. Wenn man diese um die x-Achse rotieren lässt, entsteht ein Kegel. Sagen wir, wir begrenzen die Fläche von 0 bis h, dann ist der Radius r=mh und die Höhe des Kegels ist h. Jetzt wie in meinem Tafelwerk:

$\begin{eqnarray*} V_x = \pi \cdot \int_{0}^{h}~m^2x^2~dx = \pi \cdot [\frac{1}{3}m^2x^3]_{0}^{h} = \pi(\frac{1}{3}m^2h^3 - \frac{1}{3}m^2\cdot 0^3) = \pi \frac{1}{3}m^2h^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = \frac{r}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_x = \pi\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{r^2}{h^2}\cdot h^3 = \frac{1}{3}\cdot \pi r^2 h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q.e.d. \end{eqnarray*}$

juhu, ich kanns ja auch nochmal mit deiner Idee probieren. Augenzwinkern

edit2:

Zitat:

Original von flixgott
du brauchst eine funktion, die die fläche der kreise in abhängigkeit von der schnitthöhe im kegel (parallel zum boden) berechet.

Dazu müsste man aber eine bstimmtes Verhältnis von h zu r voraussetzen, d.h. man müsste den Öffnungswinkel an der Spitze als gegeben voraussetzen. Sagen wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{h} = k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = kh \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = f(h) = \pi \cdot k^2h^2 \end{eqnarray*}$

Du willst jetzt irgendwie jeden dieser Kreise integrieren oder wie hab ich das verstanden?? Ich sehe die Parallele zu meiner Lösung mit k=m, aber ich hab ja nur ne Formel benutzt, die ich ja nicht herleiten kann und somit den Hintergrund nich verstehe. Was willst du denn jetzt genau integrieren bei der Funktion f(h)??? (also ne geometrische Erkärung wär ganz schön)

19.07.2004, 12:22

flixgott

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da hast du es doch schon dastehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\pi h^{2}k^{2}~dh = \frac{1}{3}\pi h^{3}k^{2} \end{eqnarray*}$

wegen hk=r gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\pi h^{2}k^{2}~dh = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3} Ah \end{eqnarray*}$

19.07.2004, 14:37

Mathespezialschüler

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Ja, aber warum integriert man denn hier nach h?? Ich kenn mich ja noch nich so aus in Integralrechnung. Du hast doch eine Fläche, die du mit der Funktion beschreibst. Wie "kommt" man denn durch intergrieren nach h von diesen Flächen dann auf das Volumen?? Also mir ist noch nicht klar, was das Integrieren geometrisch dabei bewirkt!??

19.07.2004, 17:50

flixgott

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das jetzt hier so einfach zu erklären ist nicht ganz leicht. wenn du dir mal riemansummen anschaust, darüber sind nämlich die hierverwendeten integrale definiert, dann verstehst du wie aus den "vielen kreisscheiben" der körper wird.
nach h integrier ich, weil ich davon ausgehe, dass das r fest vorgegeben. theoretisch gibt es auch eine möglichkeit nach dem r zu integrieren und das h als parameter zu haben.

ein erklärungs versuch auf basis von riemann:

stell dir einfach vor, du legst n kreisscheiben übereinander (der einfachheithalber haben sie alle eine dicke von h/n h - höhe des kegels) der radius jederkreisscheibe hängt von der position im kegel (z.b. der größte radius, den der kegel im bereich der jeweiligen kreisscheibe hat)
jede kreisscheibe hab also ein volumen von $\begin{eqnarray*} \pi r(t)^{2} \end{eqnarray*}$ wobei t die zahlen von 1 bis n durchläuft. das volume des kegels läßt sich durch die volumina der einbeschriebenen kreisscheiben wie folgt approximieren:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \pi r(k)^{2} \end{eqnarray*}$
je größer das n wird desto genauer wird die abschätzung und im grenzübergang gilt dann folgendes für das volumen des kegels:
$\begin{eqnarray*} (*): \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^n~ \pi r(k)^{2}* \frac{h}{n} \end{eqnarray*}$
das r(k) natürlich noch von h abhängt ist klar. hier kommt jetzt deine formel von oben ins spiel: r=h*l (das l sei mal das k aus deiner formel). l ist der parameter, der den radius beschreibt.
da rieman folgendes besagt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^n~f(x(k))*\frac{h}{n} = \int_{h}^{0}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
dieses heißt
$\begin{eqnarray*} (*)= \int_{h}^{0}~ \pi (lh)^{2}~dh \end{eqnarray*}$
naja und von null bis h über h zu integerieren ist meiner ansicht nach desebe wie das unbestimmte integral (ohne grenzen)

19.07.2004, 20:16

Mathespezialschüler

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Also erstmal vielen Dank flixgott! :]
Ich glaub, um das zu verstehen, muss ich noch viel mehr zur Integralrechnung wissen (z.B. was ein unbestimmtes und was ein bestimmtes Integral ist etc.).

Wenn ich das richtig sehe, hast du beim Integral n Fehler gemacht, du hast von h bis 0 integriert. Müsste mMn andersrum sein.

21.07.2004, 20:29

flixgott

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ja du hast.. muß anders rum sein.
unbestimmt ist ohne grenzen und bestimmt mit.
wenn du dich einarbeiten willst, dann empfehle ich dir analysis standard werk, was die integeralrechnung auf der diff.rechnung aufbaut und alles über riemann summen einführt.. ist eigentlich nicht schwer Augenzwinkern

29.07.2004, 21:54

Mathespezialschüler

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Hi flixgott, bin grad aus m Urlaub zurück, deswegen kann ich auch erst so spät zurückschreiben. Da ich im Urlaub genug Zeit hatte, hab ich mir einfach mein ABITURWISSEN nochmal genauer und öfters angeguckt und nach etlichen Malen kann ich jetzt auch Integralrechnung. Ich weiß zwar nicht genau, was Reimannsummen sind (Könntest du mir ne Definition geben?!), aber in dem Buch wurde es so hergeleitet, dass man die Fläche unter Graphen berechnen wollte, dabei das Intervall in n gleich lange Intervalle zerlegt hat und Rechtecksummen gebildet hat, wobei es immer einmal Rechtecke waren, die die ganze Fläche beinhalten und natürlich noch n bisschen mehr und dann noch Rechtecke, die ganz innerhalb der Fläche liegen, wo also was übrig bleibt. Damit wurden dann "Untersummen" und "Obersummen" gebildet. Mit n gegen unendlich geht das dann gegen die Fläche unter dem Graphen. Sind die Riemannsummen vielleicht auch nur die Unter- und Obersummen??? Die Verbindung zur Differentialrechnung kam allerdings erst sehr spät in diesem Buch. Vielleicht kannst du mir ja mal den genauen Titel, Autor, Verlag etc. von deinem Buch nennen??! Ich könnt mir das ja mal angucken.

So und jetzt nochmal zum Volumen, da steht nämlich in dem Buch auch etwas. Dort steht ein Beispiel, ich nehm mal das mit dem Kegel und mach das exemplarisch so wie es in dem Buch mit dem anderen Beispiel steht beim Kegel:

Wieder den Kegel mit dem Radius r und der Höhe h um die x-Achse "legen", also die lineare Funktion y=mx rotiert um die x-Achse im Intervall von 0 bis h.
Nun das Intervall $\begin{eqnarray*} [0;h] \end{eqnarray*}$ in n gleich lange Intervalle $\begin{eqnarray*} [x_{i-1};x_i] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3,...,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n = h \end{eqnarray*}$ zerlegen.
Jetzt mit $\begin{eqnarray*} x_i - x_{i-1} \end{eqnarray*}$ als Höhe für Zylinder solche Zylinder bilden, die zusammen ganz innerhalb des Kegels liegen und solche, die zusammen den Kegel ganz überdecken. Dadurch werden Unter- und Obersummen $\begin{eqnarray*} (S_U\ und\ S_O) \end{eqnarray*}$ gebildet. (Das hab ich eigentlich schonmal gemacht, nur dass ich dann so wie in dem Buch am Anfang, als die Verbindung zur Differentialrechnung noch nicht bekannt war, durch Summenformel und dann mit n gegen unendlich die Formel bekam. Als ich das gemacht habe, hatte ich allerdings noch kein Wort von Analsysis geschweige denn Integrale gehört.) Jetzt zu den Summen

$\begin{eqnarray*} S_U = \sum_{k=2}^n~ G_{i-1} \cdot (x_i - x_{i-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_O = \sum_{k=1}^n~ G_i \cdot (x_i - x_{i-1}) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} G_i = \pi \cdot y_i^2 = \pi \cdot m^2x_i^2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} S_U = \sum_{k=2}^n~ \pi \cdot m^2x_{i-1}^2 \cdot (x_i - x_{i-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_O = \sum_{k=1}^n~ \pi \cdot m^2x_i^2 \cdot (x_i - x_{i-1}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt als Zitat: "Diese Untersummen bzw. Obersummen bestimmen ein Integral" Also ist das Volumen des Kegels:

$\begin{eqnarray*} V = \int_{0}^{h}~ \pi \cdot m^2x^2~dx = [\pi \cdot \frac{1}{3}m^2x^3]_0^h = \frac{1}{3}\pi m^2h^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m^2 = \frac{r^2}{h^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi \frac{r^2}{h^2}h^3 = \frac{1}{3} \pi r^2h \end{eqnarray*}$

Und dann als Zitat:

Zitat:

Die Verallgemeinerung des Ergebnisses bietet sich an:

Satz 12: Kennt man bei einem Körper die Flächeninhaltsfunktion $\begin{eqnarray*} q : x \to q(x) \end{eqnarray*}$ für alle Querschnitte senkrecht zu einer Geraden im Körper, so ist das Volumen des Körpers gegeben durch $\begin{eqnarray*} V = \int~q \end{eqnarray*}$ , falls die Funktion q integrierbar ist.

Einen sehr wichtigen Sonderfall bilden alle Rotationskörper. Rotationskörper entstehen zum Beispiel, wenn der Graph einer Funktion $\begin{eqnarray*} f : x \to f(x), a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$ um die x-Achse gedreht wird. Die Volumenformel lautet dann
$\begin{eqnarray*} V = \pi \int_{a}^{b}~f^2~dx \end{eqnarray*}$

So, das hab ich also auch verstanden. *juhu*, kann jetzt mMn alles, was in der Schule in Analysis rankommt.
Allerdings ein Beweis ist dafür dort nich gegeben. Wäre der sehr kompliziert??

Danke dir dafür, dass du meinen langen Post durchgelesen hast und natürlich für deine Antwort!!

29.07.2004, 23:15

Ben Sisko

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Hallo MSS!

Unter- und Ober-Summen sind spezielle Riemann-Summen. Bei der Riemann-Summe nimmt man den Funktionswert an einer beliebigen Zwischenstelle des Rechtecks, bei der Untersumme nimmt man ja den minimalen Funktionswert.

Nun kann man die Integrale eben über die Ober-und Untersummen definieren (integrierbar wenn diese gleich sind, Darboux-Integral) oder über die Riemann-Summen (integrierbar wenn diese konvergieren, Riemann-Integral). Dann kann man jedoch zeigen, dass diese beiden Integralbegriffe das gleiche sind, also eine Funktion ist genau dann D-integrierbar, wenn sie R-integrierbar ist und dann haben die beiden Integale auch denselben Wert.

Daher ist es egal, welche Definition man verwendet, in der Schule wird es wohl der Darboux-Ansatz sein, wenn er auch nicht namentlich erwähnt wird. Korrigiert mich, wenn ich mich irre.

Gruß vom Ben

30.07.2004, 00:01

Mathespezialschüler

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Erstmal danke Ben!

Wer war denn Darboux und warum heißt das so??

30.07.2004, 00:08

Ben Sisko

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Wird wohl ein Mathematiker gewesen sein Augenzwinkern

Seine Lebensdaten sind aber alles, was ich dir geben kann: 13.08.1842 - 23.02.1917

Gruß vom Ben

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