Surjektiver Gruppenhomomorphismus

01.11.2012, 14:07	Hugemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektiver Gruppenhomomorphismus Meine Frage: Aufgabe: Gib ein Beispiel für einen surjektiven Gruppenhomomorphismus G->Z/2Z (Z für ganze Zahlen) für G gleich der symmetrischen Gruppe S3. Meine Ideen: Es gibt ja 6 Elemente in G, die ich analog zum Wikipedia Eintrag (http://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe)) wie folgt bezeichnet habe: $\begin{eqnarray} e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\<br /> d = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\<br /> d^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\<br /> s_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\\<br /> s_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\\<br /> s_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$ Und ich suche jetzt eine surjektive Abb. bei der die Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus erfüllt sind. Wenn man jetzt z.B. e, d und d^2 der 0 zuweist und s1, s2, s3 der 1, dann passt das ganze für die Verknüpfung + in Z/2Z, aber nicht für *. Bei anderen Zuweisungen/Verknüpfungen das gleiche Problem. Ich find da irgendwie nix! Jemand ne Idee? Danke im Voraus!
01.11.2012, 14:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ gibt es nur +. Du sollst ja einen Gruppenhomomorphismus angeben. Kein Ringhomomorphismus. Deine erste Idee war schon gut. Es ist auch die einzige Möglichkeit.
01.11.2012, 14:22	Hugemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoo Vielen Dank!!
01.11.2012, 14:25	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Funktion hat auch einen Namen: Sie heißt sign und ist auf beliebigen symmetrischen Gruppen definiert...

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