Ungleichungen Norm

01.11.2012, 16:31

Chrilo

Ungleichungen Norm

Hallo

Wir haben folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Zeigen Sie für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|_{q} \leq |x|_{p} \leq n^{\frac{q-p}{qp} }|x|_{q} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1\leq p\leq q\leq \infty \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} |x|_{q} \leq |x|_{p} \end{eqnarray*}$ umgeschrieben in

$\begin{eqnarray*} \sqrt[q]{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|^{q}}\leq \sqrt[p]{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|^{p}} \end{eqnarray*}$
Und da ja q größer als p per Definition ist, kann man sagen das dies gilt.

Aber wie kann ich jetzt den Rest abschätzen? Insbesondere diesen Teil : $\begin{eqnarray*} n^{\frac{q-p}{qp} } \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal :-D

03.11.2012, 17:04

Chrilo

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Hat niemand einen Tip unglücklich

03.11.2012, 23:28

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RE: Ungleichungen Norm
Hi,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[q]{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|^{q}}\leq \sqrt[p]{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|^{p}} \end{eqnarray*}$
Und da ja q größer als p per Definition ist, kann man sagen das dies gilt.

das müsstest du näher begründen, weil ich finde diese Ungleichung nicht so offensichtlich, kann aber auch sein, dass ich was einfaches übersehe.

Mir gefällt jedenfalls der Weg hier (Beiträge von Buri): http://matheplanet.com/default3.html?cal...hp?topic=167536

Zur Erläuterung:
Die Ungleichung ist homogen vom Grad 1, d.h. multipliziert man die x_i mit einem positiven reellen Streckfaktor r, kann man diesen als r^p bzw. r^q aus den jeweiligen Summen rausziehen und die Potenz wird von den jeweiligen Wurzeln getilgt, sodass auf beiden Seiten noch r steht, das man wegkürzen kann. Somit kann man durch geeignetes r die q-Norm auf 1 skalieren, wodurch natürlich auch alle x_i mit r so gestreckt wurden, dass die |x_i| im Intervall [0,1] liegen (sonst wäre die Summe ja größer 1).

Man muss nun also zeigen, dass die p-Norm größer gleich 1 ist, was aber leicht ist: Ist die q-Norm gleich 1 und alle |x_i| liegen im Intervall [0,1], so gilt für alle i : $\begin{eqnarray*} |x_i|^p \geq |x_i|^q \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} p \leq q \end{eqnarray*}$ , folglich ist die p-Norm größer gleich der q-Norm.
Von mir aus kann man auch jetzt erst mit dem Streckfaktor argumentieren, dass wenn unter diesen speziellen Bedingungen die Ungleichung gilt, sie dann auch für beliebige x_i gilt.

Ich hoffe ich hab keinen Fehler eingebaut. Zum für dich leichtesten Teil habe ich nun am meisten geschrieben ^^

Nun zum anderen Teil:
Nimm dafür die Höldersche Ungleichung her, und baue die Summe über die 1 ein, die schließlich n ergibt. Links vom Kleinergleichzeichen schreibe die Summe der $\begin{eqnarray*} x_i ^p \cdot 1 \end{eqnarray*}$ . Rechts muss ein Exponent q/p sein, um auf die x_i ^q zu kommen ( $\begin{eqnarray*} (x_i ^p )^{q/p} = x_i ^q \end{eqnarray*}$ ).
Nun muss man nur noch die Bedingung an die Exponenten als Voraussetzung der Hölderschen Ungleichung erfüllen (hier kann man am Exponenten der 1 rütteln) und bekommt damit deine angegeben Ungleichung mit dem angegebenen Exponenten fürs n.

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