wieder eine einfache induktion

01.11.2012, 16:39

akamanston

wieder eine einfache induktion

hi, ich komme wieder bei der eifnachsten induktion nicht weiter.
ich bin glaube ich schon ganz weit, nur eine umformung scheint zu fehlen. beim schritt n --> n+1 mache ich da aus jedem n ein n+1 oder nur auf der linken seite vom =. bleibt das (n^n)/n! so stehen?

[attach]26451[/attach]

01.11.2012, 17:10

HAL 9000

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Zur letzten Zeile: Was hat denn plötzlich das $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ im allgemeinen Faktor des Produkts zu suchen??? Es sieht doch dort zunächst so aus:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{(n+1)-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \left[ \prod_{k=1}^{n-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k \right] \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \ldots \end{eqnarray*}$ .

Obwohl eigentlich unnötig, habe ich rechts das Produkt nochmal in eckige Klammern geschrieben, um keine Zweifel aufkommen zu lassen, wie weit sich der Gültigkeitsbereich von $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1} \end{eqnarray*}$ erstreckt. Augenzwinkern

01.11.2012, 17:12

akamanston

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wenn ich das jetzt die IV einsetze und umforme dann komme ich auf etwas hinaus, aber worauf?
wieso setzt du das n+1 nicht in k ein?

01.11.2012, 17:19

HAL 9000

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Naja, es ist doch wohl naheliegend, den dazukommenden Faktor $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ mal irgendwie etwas verdaulicher als Produkt/Quotient natürlicher Zahlen zu schreiben. Fällt dir dazu gar nichts ein? Stichwort: Potenzgesetze.

01.11.2012, 17:21

akamanston

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Zitat:

Original von HAL 9000
Naja, es ist doch wohl naheliegend, den dazukommenden Faktor $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ mal irgendwie etwas verdaulicher als Produkt/Quotient natürlicher Zahlen zu schreiben. Fällt dir dazu gar nichts ein? Stichwort: Potenzgesetze.

hast du den faktor aus dem produkt herausgezogen? genau das ist der schritt den ich nicht verstehe. ständich wird mir der tipp gegeben, ich solle das produkt splitten, aber ich weiß nicht wie das geht

01.11.2012, 17:26

HAL 9000

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Aber das Herausziehen ist doch schon hier

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \left[ \prod_{k=1}^{n-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k \right] \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

gemacht worden: Der letzte Faktor, also der für $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ wurde herausgezogen, er steht da ganz rechts. Das muss natürlich im Restprodukt dahingehend korrigiert werden, dass dort dann nur noch die Faktoren von $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots, (n-1) \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

01.11.2012, 17:51

akamanston

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IST die auf meinem Bild beim schritt (S) das erste produkt, noch vor dem "=" schon falsch eingesetzt?

01.11.2012, 18:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von akamanston
IST die auf meinem Bild beim schritt (S) das erste produkt, noch vor dem "=" schon falsch eingesetzt?

So liest du die Beiträge. unglücklich

Das war das ALLERERSTE, was ich oben geschrieben hatte:

Zitat:

Original von HAL 9000
Zur letzten Zeile: Was hat denn plötzlich das $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ im allgemeinen Faktor des Produkts zu suchen???

Also nochmal im Klartext:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{(n+1)-1} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ , was man im übrigen auch einfach als Potenz $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, hat nichts, aber auch gar nichts mit der vorliegenden Problemstellung zu tun.

01.11.2012, 23:15

akamanston

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muss ich dann die IV so anwenden, dass ich das n^n=n! ersetze?
das ist doch falsch was ich da mache?
[attach]26469[/attach]

01.11.2012, 23:42

HAL 9000

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Ich muss mal rasch nachschauen: Sind wir hier wirklich in der Hochschulmathematik? Du führst dich auf, als hättest du noch nie einen Induktionsbeweis gesehen, geschweige denn selbst geführt. unglücklich

Es wird kein $\begin{eqnarray*} n^n=n! \end{eqnarray*}$ irgendwo eingesetzt, weil das falsch ist, zumindest für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Was eingesetzt wird, ist die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ , und zwar hier

Zitat:

in das erste Teilprodukt rechts, womit wir dann bei

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \frac{n^n}{n!} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

sind. Und dies gilt es noch umzuformen, dass dort die rechte Seite der Induktionsbehauptung rauskommt.

01.11.2012, 23:53

akamanston

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ok, jetzt forme ich das produkt genauso um wie vorhin, und dann kürzt sich der faktor (1 + 1/n)^n heraus. und siehe da, ich bin wieder am ursprung erlangt.
muss ich bei der induktion IMMER auf die behauptung hinaus? also am ende muss wieder das gleiche stehen wie in der behauptung?

ich muss mich für meine naiven fragen schon ein wenig entschuldigen, aber ich habe gerade so viel auf einmal zu machen, ich weiß gar net wo ich was machen soll. deshalb mach ich von jedem ein bisschen etwas, und das ist der fehler. außerdem habe ich das system der induktion auch noch nicht wirklich verstanden. aber ich bin ja gerade dabei

edit. danke für deine hilfe=)

und das hier
Es wird kein $\begin{eqnarray*} n^n=n! \end{eqnarray*}$ irgendwo eingesetzt, weil das falsch ist

habe ich nie behauptet, auf so eine idee komm auch ich nicht

02.11.2012, 07:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von akamanston
muss ich bei der induktion IMMER auf die behauptung hinaus? also am ende muss wieder das gleiche stehen wie in der behauptung?

Wie bei jedem Beweis ist es auch beim Induktionsbeweis das Ziel, die Behauptung nachzuweisen, ja - was auch sonst. Augenzwinkern

Ich vermute, du beziehst dich in deiner Anmerkung speziell auf Induktionsbeweise von Gleichungen (es gibt auch Induktionsbeweise anderer Aussagen, siehe z.B. hier), und da auf den Beweis der Induktionsbehauptung im Induktionsschluss? Ja, da geht man gewöhnlich so vor, dass man von der linken Seite der Induktionsbehauptung ausgehend die Terme umformt, irgendwann zwischendurch auch die Induktionsvoraussetzung nutzt, bis man schließlich zu dem Term gelangt, der der rechten Seite der Induktionsbehauptung entspricht. Aber es sei nochmals betont, dass dies nur ein mögliches Vorgehen beim Induktionsbeweis von Gleichungen ist, nicht mehr.

Zitat:

Original von akamanston
habe ich nie behauptet, auf so eine idee komm auch ich nicht

Warum streitest du Sachen ab, die so offen dastehen:

Zitat:

Original von akamanston
muss ich dann die IV so anwenden, dass ich das n^n=n! ersetze?

Wenn du nicht auf solche Ideen kommst, dann scheinen deine Finger autonom vom Gehirn zu agieren...

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