Zeigen dass Funktionenraum NICHT vollständig

01.11.2012, 16:55	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen dass Funktionenraum NICHT vollständig Aufgabe: Man betrachte den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ und zeige, dass er bezüglich der Norm $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_{sup} \end{eqnarray}$ nicht vollständig ist. Meine Ideen: Ich brauche also eine Cauchyfolge von stetig diffbaren Funktionen, deren Grenzwert entweder nicht diffbar ist, oder dessen Ableitung nicht stetig ist. Ich probiere schon den ganzen Tag mir eine Funktionenfolge zu überlegen, die z.B. gegen die Betragsfunktion (nicht diffbar in 0) oder gegen $\begin{eqnarray} x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray}$ (Ableitung nicht stetig in 0) konvergiert. Und selbst wenn ich eine solche finde, müsste ich noch zeigen dass alle Folgeglieder stetig diffbar sind und sogar noch dass es sich um eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_{sup} \end{eqnarray}$ handelt... Wie kann man eine solche Aufgabe vernünftig lösen? Bitte um Ratschläge! EDIT: Ich gehe davon aus dass die Cauchyfolge einen Grenzwert hat, da jede stetig diffbare Funktion eben auch stetig ist und der Raum der stetigen Funktionen ein Banachraum ist => es gibt einen stetigen Grenzwert. EDIT 2: Ich bleibe immer an $\begin{eqnarray} \| x-\frac{1}{2} \|^{1+\frac{1}{n} } \end{eqnarray}$ hängen. Kann jemand mal schauen ob diese Funktionenfolge funktioniert? Ich versuche es auch gerade nachzuprüfen.
01.11.2012, 19:18	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktionenfolge, die gegen die Betragsfunktion konvergiert, zu finden, ist schon mal eine gute Idee. Wie wär's zum Beispiel mit $\begin{eqnarray} f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ ? Du musst die Funktionenfolge natürlich noch an dein gewünschtes Intervall anpassen. MfG
01.11.2012, 19:39	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für die Antwort! Ja, deine Funktionenfolge sieht etwas angenehmer aus... komisch dass ich nicht erst auf die gekommen bin Ich habs trotzdem mit meiner gemacht (siehe erster Post, EDIT 2) und das hat soweit funktioniert, wenn ich keinen Fehler gemacht habe. Also gezeigt, dass sie für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ stetig diffbar ist (hab den Betrag dafür letztlich auch als $\begin{eqnarray} \sqrt{x^{2}} \end{eqnarray}$ hingeschrieben), und konvergent gegen die Betragsfunktion bzgl. $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_{sup} \end{eqnarray}$ ; diese ist in 1/2 nicht diffbar. Und eine konvergente Folge ist sowieso eine Cauchyfolge. Damit ist die "Unvollständigkeit" des Raumes gezeigt. Falls doch noch was falsch ist, bitte schreiben! Ansonsten wünsche ich allen einen schönen Abend

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