Symmetrische Differenz

01.11.2012, 17:55	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Differenz Meine Frage: A,B,C seien Mengen. zz.: $\begin{eqnarray} (A \triangle B) \cap C = (A \cap C) \triangle (B \cap C) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich vereinfache zuerst die linke Seite: $\begin{eqnarray} (A \triangle B) \cap C = [(A \setminus C) \cup (C \setminus A)] \cap C = [(A \setminus C) \cap C] \cup [(C \setminus A) \cap C] = \emptyset \cup C = C \end{eqnarray}$ Nun die rechte Seite: $\begin{eqnarray} (A \cap C) \triangle (B \cap C) = [(A \cap C) \setminus (B \cap C)] \cup [(B \cap C) \setminus (A \cap C)] = \end{eqnarray}$ Nun steck ich irgendwie fest. Ich hatte zwar schon probiert die Mengenschreibweise in eine Aussageform zu bringen, kam aber dennoch auf keinen grünen Zweig. Kann mir jemand weiterhelfen? Ein kleiner Tipp würde eventuell schon reichen. Danke. lg Ploki
01.11.2012, 18:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das paßt ja wunderbar zu diesem Beitrag. Ich würde mit der Darstellung $\begin{eqnarray} X \triangle Y = \left( X \cap \overline{Y} \right) \cup \left( \overline{X} \cap Y \right) \end{eqnarray}$ arbeiten, wobei die Überstreichung die Komplementbildung bezüglich einer geeigneten Obermenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ bezeichnet. Dann kann man sich auf die Regeln einer Booleschen Algebra, insbesondere die Distributivgesetze für $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ und die Regeln von de Morgan, berufen.
01.11.2012, 19:00	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp, aber leider haben wir speziell in dieser Vorlesung (in anderen schon) diese Schreibweise nicht durchgenommen und Gruppen nicht behandelt. Ich darf das somit nicht verwenden. Es muss irgendwie möglich sein, es nur durch die Defintion $\begin{eqnarray} A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{eqnarray}$ und den Regeln von de Morgan und den Assoziativgesetzen lösen zu können.
02.11.2012, 19:33	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
HATTE EINEN FEHLER IN DER ANGABE. Thread kann gelöscht bzw. geschlossen werden.

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