Messbarkeit zeigen & Maß bestimmen

01.11.2012, 19:58	Dummi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit zeigen & Maß bestimmen Meine Frage: Es sei 0 < $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ < 1. Es sei n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N und für $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gelte für alle Quader $\begin{eqnarray} Q \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \lambda^( A \cap Q) \leq \alpha \lambda(Q) \end{eqnarray}$ zz: A ist messbar Welches Maß hat A? Meine Ideen:* Hallo zusammen, ich sitze hier gerade an einer Übungsaufgabe und weiß leider so gar nicht, wie ich am besten an sie herangehe, also in erster Linie, wie ich die Messbarkeit zeige... Eigentlich bräuchte ich doch eine Funktion (und die habe ich nicht?!), oder? Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke!
02.11.2012, 09:34	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
soll $\begin{align} \alpha \end{align}$ eine Konstante sein? Ist $\begin{align} \lambda^ \end{align*}$ ein neues Mass? Gruß Peter
02.11.2012, 09:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mal vermuten, dass Dummi90 mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ das n-dimensionale Borelmaß, und mit $\begin{eqnarray} \lambda^ \end{eqnarray*}$ das zugehörige äußere Maß meint. Wäre allerdings besser gewesen, wenn er das gleich mit erwähnt hätte.
02.11.2012, 20:03	Dummi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte entschuldigt, dass ich dazu nichts weiteres angegeben habe! $\begin{eqnarray} 0 < \alpha <1 \end{eqnarray}$ , also eine ganz normale Zahl. Ich vermute mal $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , allerdings fehlt da tatsächlich eine nähere Angabe zu... Mit $\begin{eqnarray} \lambda (Q) \end{eqnarray}$ ist das Volumen von Q gemeint, also definiert haben wir es wie folgt: Ist Q ein beschränkter Quader im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ , so heißt $\begin{eqnarray} \lambda (Q) := \end{eqnarray}$ Produkt von j=1 bis n $\begin{eqnarray} (b_j-a_j) = (b_1-a_1) \cdot ... \cdot (b_n-a_n) \in \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda (M) \end{eqnarray}$ bezeichnet das äußere Lebesgue-Maß von $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \lambda (M):= inf \{\sum\limits_{j=1}^{\infty} {\lambda (Q_j)} ; Q_j beschraenkte Quader, M \subset \bigcup_{j=1}^\infty Q_j \} \in \mathbb R_+ \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ .
02.11.2012, 20:18	Dummi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Ergänzung vielleicht noch unsere Definition von Messbarkeit (OHNE Funktion! Ich hatte bei meinem ersten Post die falsche Definition angeguckt...) Eine Menge $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ heißt messbar, wenn für alle $\begin{eqnarray} R \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lambda^(R) \geq \lambda^(R \cap M) + \lambda^(R \cap M^{C}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} M^{C}=\{x \in \mathbb R^n; x \notin M\} \end{eqnarray*}$ das Komplement von M bezeichnet.
02.11.2012, 22:12	Dummi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Nachtrag: Wenn ich versuche die Definition der Messbarkeit auf die Aufgabe zu übertragen, dann kann ich doch folgendes sagen: $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ heißt messbar, wenn für alle $\begin{eqnarray} Q \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \lambda^(Q) \geq \lambda^* (Q \cap A) + \lambda^* (Q \cap A^{C}) \end{eqnarray}$ Wenn ich das jetzt einfach umforme, dann erhalte ich ja bereits $\begin{eqnarray} \lambda^* (Q \cap A) \leq \lambda^* (Q) - \lambda^* (Q \cap A^{C}) \end{eqnarray*}$ Allerdings weiß ich nun nicht so ganz, wie ich weiter vorgehen kann... Also ich vermute, dass ich irgendwie die Ungleichung aus der Aufgabenstellung ins Spiel bringen muss, aber leider ist mir noch nicht ganz klar wie... Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke!
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04.11.2012, 18:30	Dummi90	Auf diesen Beitrag antworten »
niemand, der mir weiterhelfen kann?

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