Logik, Gleichungen, Mengen

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chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Logik, Gleichungen, Mengen
Hallo,

ich muss folgende Gleichung widerlegen oder beweisen:



Meine Ideen:

Ich hab mir erstmal überlegt, ob die Verknüpfungsgesetzen(assoziativ,...) für die einezelnen Operatoren gelten. Diese gelten nur für die Vereinigung und Durchschnitt.

Ist das der richtige Ansatz? Dann ist mir auch noch in den Gedanken gekommen diese Formeln zu vereinfachen. Ist aber vielleicht nicht sinnvoll.

Ich hoffe jemand kann mir helfen. smile
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Da du ja beweisen oder widerlegen sollst: Nehmen wir mal an, du wüsstest nicht, ob die Gleichung gilt oder nicht. Dann malst du dir erst mal zwei Mengen auf (z.B. zwei Kreise), die sich schneiden, und nennst den einen A und den anderen B. Dann schaust du dir das mal für beide Seiten der Gleichung an und wirst feststellen, dass die Gleichung richtig sein könnte (wenn man hier schon sieht, dass das nicht aufgeht, müsste man ein Gegenbsp. konstruieren).

Wenn du dann von dieser Vorüberlegung zum Beweis übergehst:
Um die Gleichheit von Mengen zu zeigen, zeigst du z.B., dass die eine Menge in der anderen enthalten ist und umgekehrt (das ist jedenfalls der Standardweg).
Nimm dir also ein Element aus der Menge auf der linken Seite der Gleichung und zeige, dass das dann auch in der Menge auf der rechten Seite enthalten ist. Nutze dabei die Definitionen aus, die du für Vereinigung etc. kennst. Das ganze dann noch umgekehrt und du bist fertig.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab verstanden was du meinst. Aber ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll.


Also << das ist die linke seite

die rechte Seite würde dann ausspucken, dass ohne den Durchschnitt von A und B
Das heißt dann, dass die Gleichung nicht gilt.

man man, wie im Kindergarten die herangehensweise.
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, dass du wirklich verstanden hast, was ich meine.... hast du dir mal ein Bild gemalt? Zwei sich teilweise überlappende Kreise zeigen das hier relativ gut... dann hat man auch eine Idee davon, wie solche Mengen aussehen würden.

Jedenfalls gilt deine Umformung der linken Seite nicht. Das wird dir mit einem Bild sicher auch klar.... erst wenn du dann diese Vorstellung hast, solltest du an den Beweis herangehen.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hast du dir mal ein Bild gemalt?


Nein.

Aber jetzt. Und ich muss echt lachen und mich entschuldigen. Richtig geil sowas.

Linke Seite: (A u B) ??
Reche seite: (A n B) ??

Wie beweise ich das?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage wäre offensichtlich nicht richtig.....

Demnach hast du ein falsches Bild gemalt. Da ich jetzt nicht so viel Lust habe, mit Paint was zu malen, versuche ich es mal schriftlich zu erklären:
Male zwei sich überlappende Kreise und nenn den einen A, den anderen B. Dann entstehen drei "Teilbereiche": Einer, wo nur Elemente aus A sind, ein weitere, wo nur Elemente aus B sind, und ein dritter "Schnittbereich", wo die Elemente aus A und B sind. Die Elemente der linken Seite der Gleichung sind jetzt genau diejenigen, die in A, aber nicht in B liegen oder die in B, aber nicht in A liegen, also genau die aus den Teilbereichen ohne den "Schniitbereich". Genau dasselbe ergibt sich dann auch bei der rechten Seite.

Erst wenn dir das klar ist, macht es auch Sinn, mit dem Beweis anzufangen.
 
 
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich doch mal gemalt:
http://i.imgur.com/bVI27.jpg

Zu A gehört jetzt alles, was mit der roten und gelben Farbe angemalt ist und zu B alles, was mit gelb und grün markiert ist. (Also ist A gerade der linke Kreis und B der rechte Kreis.)

Nun überleg du dir, was in diesem Fall die einzelnen Mengen sind. Gerne auch erst mal "jede für sich".

(Und bedenke, dass das alles nur Vorüberlegung ist, die hilft zu erkennen, ob die Gleichung gilt oder nicht. Das könnte dann auch später im Beweis noch helfen.)
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe.
Die linke Seite der Gleichung ist rot und grün. Rechte Seite ist Gelb. Richtig?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Linke Seite passt. Rechte Seite stimmt nicht: Wenn du A und B vereinigst, nimmst du ja quasi alles, also rot, gelb und grün. Dann nimmst du den Schnitt von A und B wieder heraus, also geht das gelbe weg. Übrig bleibt dasselbe wie auf der linken Seite, nämlich rot und grün.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Meine Definitionen waren falsch. Danke.
Nun zum Beweis?!
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Zum Beweis nimmst du dir nun ein Element aus der linken Menge heraus und zeigst schrittweise, dass es dann auch Element der rechten Menge ist.


Was folgt jetzt für x mit der Definition der Vereinigung?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

mhh..., dass
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwechselst gerade Schnitt mit Vereinigung, wie es scheint. Richtig ist aber:
Zitat:
Original von chillerStudent
mhh..., dass

An der Stelle kann man dann die Definition der Mengendifferenz einsetzen.

/EDIT: Ich bin dann mal offline, kann gerne jemand weitermachen....
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

sry, dass ich so sptät antworte.
Wie geht nun weiter mit ?
Wenn man die Definition der Diferrenzmenge anwendent, dann:




Und nun?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub die linke Seite kann man erst so stehen lassen.
Dann zur rechten Seite:

Sei



Ist das bis hier hin richtig?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich hab hier ein Fehler

Das muss heißen:

Hab ich jetzt damit bewiesen, dass x in beiden Mengen ist?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war die Tage aus Zeitgründen nicht hier online.

Das, was zuletzt in deinem vorletzten Beitrag stand, war bis zur zweiten Zeile schon besser..... man kann dann aber auch über Komplemente argumentieren: Wenn x nicht im Schnitt von A und B ist, dann ist x in dessen Komplement. Das Komplement des Schnittes von A und B ist die Vereinigung des Komplements von A und des Komplements von B (nach de Morgan bzw. auch leicht zu beweisen, wenn es nicht bekannt ist). Daraus kann man dann leicht die Behauptung folgern.

Damit das aber auch sauber bewiesen ist, musst du zwischen allen Aussagen Äquivalenzpfeile schreiben (dann kann man von der einen Seite zur anderen, aber auch umgekehrt kommen), was hier aber funktioniert.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das:




Komplement in der Mengenlehre habe ich mich noch nicht beschäftigt. Ist grad neu für mich. Kannst du eine Alternertive vorschlagen?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Laut wikipedia ist dann
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich hier sagen, dass
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke magic_hero. Kapiert. Ich hoffe nur, dass es angnommen wird, da nicht behandelt.
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Komplementen könnte man hier sehr leicht arbeiten, aber wenn du das noch nicht hattest, hilft das natürlich nicht so viel..... du musst vor allem darauf achten, mit solchen Begriffen vorsichtig umzugehen (was du in deinem vorletzten Beitrag geschrieben hast, ist nicht sauber!).

Jedenfalls kann man das Ganze auch mit den Eigenschaften der Mengendifferenz zeigen - das sollte dann aber zuvor schon in der Vorlesung oder auf dem Übungsblatt dran gewesen sein (oder es ließe sich leicht nachrechnen).

Zum Beispiel sollten folgende Eigenschaften ganz gut nutzbar sein für diese Aufgabe:

Damit sollte man die Mengengleichheit direkt zeigen können.
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