Mengenabbildung einer endlichen Menge die injektiv ist.

01.11.2012, 20:28	Eskapismus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenabbildung einer endlichen Menge die injektiv ist. Meine Frage: Hallo zusammen. Ich habe eine Frage zu einem Beweis folgender Behauptung: Sei $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ gilt: Falls $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine endliche Menge ist und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv ist, dann hat $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ mindestens soviele Elemente wie $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Diese Behauptung ist, soweit ich das sehe richtig. Beweisen wollte ich das mit einem Beweiß durch Widerspruch: Sei $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv. X sei eine endliche Menge. Wir nehmen an, dass die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ größer wäre, als die von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Daraus folgt jedoch, dass sich ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ finden ließe, dass sich nicht in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ abbilden ließe, ohne die Injektivität zu verletzen. Es gäbe also ein Element ohne Abbildung, sodass die Funktion ungültig wird(?). Meine Frage ist, ob der letzte Schluss so zulässig wäre. Ich bin mir nämlich nicht ganz sicher, ob man das so schreiben darf und ob es wirklich logisch schlüssig ist, oder wie man das schlau formulieren kann. Wäre super, wenn mir jemand einen Anstoß geben könnte.
01.11.2012, 20:33	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum die Behauptung stimmen musst, hast du ja schon verstanden. Deinen Schluss würde ich als zulässig klassifizieren, du kannst aber auch einfach das Schubfachprinzip benutzen und so einen Widerspruch zur Injektivität bekommen. Oder du kannst direkt argumentieren, dass Y mindestens soviele Elemente wie X haben muss. MfG

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