Verschoben! Extrempunkt(e) Sinuskurve

01.11.2012, 20:31

PC

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Extrempunkt(e) Sinuskurve

moin moin,

meine Aufgabe is es, die Extrempunkte einer Sinuskurve zu berechnen.
Die Funktion lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=9,3sin(0,5236(x-4))+10,3 \end{eqnarray*}$

Davon habe ich die 1. Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar, dass ich $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ gleich Null setzen muss aber irgentwie komme ich nicht auf das Richtige ergebnis. verwirrt

verwirrt

Das Ergebnis muss 7 sein, weil es so auf unserer Zeichnung ist.

Mein Ansatz sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} 0=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4,86948=cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4,86948/cos^-1(0,5236)=(x-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4,86948/cos^-1(0,5236))+4=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8,775286019=x \end{eqnarray*}$

Irgentwas mache ich falsch, nur sehe ich mein(e) Fehler nicht traurig

traurig

würde mich freuen, wenn ihr mir weiter helfen könntet.

01.11.2012, 20:41

Gold

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Im zweiten Schritt ist 0*4,86948=4,86948 verwirrt

verwirrt

01.11.2012, 20:43

Gold

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Vielmehr ersetze "*" durch ein ":" in meinem Post.

01.11.2012, 20:45

PC

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geschockt

Was hab ich den gemacht.
0/4,86948 ergibt ja Null Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} 0=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^-1(0,5236)=(x-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^-1(0,5236))+4=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5,019725307=x \end{eqnarray*}$

Aber richtig ist es immer noch nicht unglücklich

unglücklich

01.11.2012, 20:48

magic_hero

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Das liegt daran, dass du nicht teilweise cos^(-1) anwenden kannst oder dadurch teilen kannst.
Wenn du cos^(-1) in der zweiten Zeile anwendest, erhälts du auf der linken Seite cos^(-1) an der Stelle 0 und rechts bleibt "das Argument" des Cosinus stehen, also 0.5236*(x-4).

01.11.2012, 21:05

PC

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$\begin{eqnarray*} 0=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^-1=0,5236(x-4) \end{eqnarray*}$

Und nu?
Ich kann doch nicht einfach die 0,5236 rübernehmen und dann noch die 4.
Man kann ja nicht
$\begin{eqnarray*} (cos^-1/0,5236)+4 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} (cos^-1+2,0944)/0,5236 \end{eqnarray*}$ (klammer aufgelöst)

rechnen.

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01.11.2012, 21:11

magic_hero

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Doch, das kann man.... und zwar genauso, wie du es gemacht hast. Zunächst teilst du durch 0.5236 und addierst anschließend 4.

Das Problem ist, du hast nun cos^(-1) da stehen. Das ist aber eine Funktion, auch als arccos bzw. Arcuscosinus bekannt. Und den musst du an der Stelle 0 auswerten (d.h. (cos^(-1))(0) = arccos(0) bestimmen). Wie ich an deinen Umformungen sehe, versteht du nicht wirklich, was das bedeutet bzw. ei du damit rechnen kannst.... sag am besten mal, was du darüber bisher weißt.

01.11.2012, 21:23

PC

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$\begin{eqnarray*} 0=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^-1=0,5236(x-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (cos^-1(0))/0,5236=(x-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((cos^-1(0))/0,5236)+4=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7=x \end{eqnarray*}$

Ich danke dir für deine Hilfe Gott

Gott

Was ich bisher darüber weiß?
Ich sags mal so, wir hatten eine Funktion+Steigung gegeben, wo wir errechnen sollten, an welchen Stellen diese Steigung ist.

ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sinx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m=-0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5=cosx \end{eqnarray*}$

um die X-Stelle zu errechnen, muss man den "Kehrwert" von cos nehmen

$\begin{eqnarray*} cos^-1(-0,5) \end{eqnarray*}$

sowas haben wir bisher gemacht.
Davor haben wir nichts desgleichen gemacht, was das Thema "Sinus- und Cosinuskurve" angeht.

01.11.2012, 21:27

magic_hero

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In der dritten Zeile fehlt zwar noch das Argument bei cos^(-1), aber danach passt die Rechnung ja.

Jedenfalls, wo du aufpassen musst: Wenn du eine Gleichung der "Form"
c = cos(m(x+b))
hast, wobei m, c und b irgendwelche reellen Zahlen sind, musst du cos^(-1) auf die ganze Gleichung anwenden und dann entsprechend umformen, so wie du es jetzt im letzten Beitrag getan hast.

01.11.2012, 21:33

PC

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Also muss es bei solchen Funktionen immer cos^-1(0) heißen, wenn ich den "Kehwert" von Cosinus nehme?

01.11.2012, 21:39

magic_hero

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Ich weiß nicht ganz, was du meinst.... das hängt ja davon ab, wie die Gleichung letztlich aussieht. Weil du hier nach Nullstellen suchst, ist das passende Argument hier eben 0.
Generell musst du bedenken, dass cos^(-1) eine Funktion ist, genauso wie cos eine Funktion ist, die man an verschiedenen Stellen auswerten kann.

01.11.2012, 21:47

PC

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Alles klar.

Ich hätte da noch eine letzte Frage.
lautet die 2. Ableitung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x)=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4,86948-sin(0,5236(x-4))*(0,5236) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(x)=2,5496597828-sin(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

Zuerst muss ich ja bei der inneren Funktion die Klammerauflösen und dann Ableiten oder?

01.11.2012, 21:54

magic_hero

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Welche 2. Ableitung meinst du jetzt? Du bezeichnest nämlich immer jede Funktion mit f, solltest aber f' und f'' schreiben, wenn du das meinst.

Außerdem ist in deinem "zweiten" f irgendetwas schief gegangen (oder du drückst dich unglücklich aus) - denn da steht jetzt eine Differenz. Meinst du vielleicht 4.8*(-sin(0.5(x-4)))*0.5 ? (Ich habe jetzt mal der Übersicht halber einige Stellen weggelassen.)
Wenn du 4-sin(x) schreibst, ist das eine ganz andere Funktion als -4sin(x)!

01.11.2012, 22:01

PC

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tur mir leid für den Fehler. Wie konnte mir sowas nur passieren Hammer

Hammer

Also.
1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4,86948cos(0,5236(x-4)) \end{eqnarray*}$

2.Ableitung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=2,5496597828(-sin(0,5236(x-4))) \end{eqnarray*}$

Und ja, ich habe mich unglücklich ausgedrückt, wofür ich mich auch entschuldige

unglücklich

Natürlich meine ich 4.8*(-sin(0.5(x-4)))*0.5

01.11.2012, 22:04

magic_hero

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Zitat:

Original von PC
tur mir leid für den Fehler. Wie konnte mir sowas nur passieren Hammer

Hammer

Ist ja kein Problem. So etwas macht es dann aber halt manchmal schwierig, da vielleicht nicht jeder dasselbe meint.

Du kannst auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = -2.5sin(0.5(x-4)) \end{eqnarray*}$
Das ist etwas gängiger als deine Schreibweise, die aber genau dasselbe bedeutet.

01.11.2012, 22:09

PC

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Gut. Deine Schreibweise sieht auch übersichtlicher aus.

Nochmals vielen dank für deine Hilfe und desen von Gold smile

smile

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