Urne, WSK

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01.11.2012, 20:55	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Urne, WSK Nabend, folgende Aufgabe liegt mir vor : In einer Urne befinden sich a weiße, b schwarze und c rote Kugeln. Der Urne werden nacheinander alle Kugeln entnommen und ihre Farbe notiert. Man beweise: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste weiße Kugel vor der ersten schwarzen Kugel gezogen wird, beträgt $\begin{eqnarray} \frac{a}{a+b} \end{eqnarray}$ Also ich muss zugeben, dass ich hier keinerlei eigene Ideen mitbringe. Ich sehe, dass dieser Term eigentlich die WSK dafür angibt, dass eine weiße Kugel gezogen wird, wenn man die roten Kugeln weglässt. Das ist an sich ja auch ganz logisch, da diese weniger interessant sind im Rennen von weiß und schwarz, aber warum dieser Term nungerade die WSK angibt, dass eine weiße Kugel vor einer schwarzen kommt, dass will mir nicht so ganz in den Kopf. Ich weiß auch nicht ganz, wie ich da anfangen soll. Kann ich das durch sofortiges Errechnen bekommen oder muss ich da erstmal etwas moddellieren? Ich bin für jeden Gedankenanstoß dankbar.
02.11.2012, 09:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urne, WSK Das kannst du leicht durch vollständige Induktion über c zeigen.
02.11.2012, 13:54	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auf jeden Fall ein interessanter Gedanke. Nun hapert es bei mir daran, überhaupt erstmal die Aussage zu formulieren, welche ich dann versuchen könnte zu beweisen. Ansätze wie P(W) = a / (a+b+c) = a/(a+b) sind ja eher nicht beweisbar, vor alemm da das Zweite auch falsch ist. Es muss also links vom Gleichheitszeichen etwas anderes als das P(W) stehen richtig?
02.11.2012, 14:13	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit die erste weiße Kugel vor der ersten schwarzen Kugel gezogen wird, muss im ersten Zug eine weiße Kugel gezogen werden oder es muss im ersten Zug eine rote Kugel geworden. Wird eine rote Kugel gezogen, muss in der Folge wieder die erste weiße Kugel vor der ersten schwarzen Kugel gezogen werden. Die Situation ist also wie vorher, nur mit einer roten Kugel weniger. Damit hast du Rekursionsbeziehung für die Induktion. Und der Induktionsbeginn bei c = 0 ist doch klar. Nenne also die gesuchte Wahrscheinlichkeit f(a, b, c) und schreibe die Rekursionsbedingung dafür hin. Der Rest ist trivial.
02.11.2012, 21:12	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mich gerade nochmal dran gesetzt und leider noch keine rekursive Form bekommen. Als Folge habe ich mir sowas gedacht wie $\begin{eqnarray} a_n = \{ \frac{a+c}{a+b+c} , \frac{a + c - 1}{a+b+c-1} , ... , \frac{a + c - c}{a + b + c - c} \} = \frac{a+c - n}{a+b+c - n} , n = 1 , ... , c \end{eqnarray}$ So ganz was Tolles habe ich damit befürchte ich noch nicht gefunden
02.11.2012, 21:27	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn f(a, b, c) die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist, gilt nach dem, was ich oben sagte: $\begin{eqnarray} f(a,b,c)=\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}f(a,b,c-1) \end{eqnarray}$
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03.11.2012, 20:19	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also um nochmal auf Nummer sicher zu gehen, was ich nun versuchen soll per Induktion zu zeigen ist $\begin{eqnarray} f(a,b,c) = \frac{a}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c} \cdot f(a,b,c-1) = \frac{a}{a+b} \end{eqnarray}$ Ist das korrekt? Für c = 0 und für c = 1 stimmt diese Formel auch. Der Induktionsschritt dagegen ist allerdings nicht ganz so einfach, da er wegen dem letzten f(...) verdammt komplex wird. X_X
04.11.2012, 09:07	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Gegenteil, der Induktionsschritt ist sehr einfach. Du darfst doch dabei annehmen, es sei schon gezeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray} f(a, b, c-1)= \frac {a}{a+b} \end{eqnarray}$ Also setze das in die Rekursionsformel ein. Dann ergibt sich durch simples ausrechnen: $\begin{eqnarray} f(a, b, c)= \frac {a}{a+b} \end{eqnarray}$
04.11.2012, 14:24	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach jetzt habe ichs, hab vorher irgendwie immer den selben doofen Fehler gemacht oh man oh man xD Vielen Dank für deine Hilfe , hätte es ohne dich wohl nicht geschafft.
04.11.2012, 15:54	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey , ich habe jetzt nochmal was ausprobiert. Wenn ich f(2,2,2) beispielsweise berechnen will ergibt sich $\begin{eqnarray} f(2,2,2) = \frac{2}{2+2+2} + \frac{2}{2+2+2} \cdot f(2,2,1) =<br /> <br /> = \frac{2}{2+2+2} + \frac{2}{2+2+2} \cdot ( \frac{2}{2+2+1} + \frac{1}{2+2+1} \cdot f(2,2,0) )<br /> <br /> = \frac{2}{2+2+2} + \frac{2}{2+2+2} \cdot ( \frac{2}{2+2+1} + \frac{1}{2+2+1} \cdot ( \frac{2}{2+2+0} + \frac{0}{2+2+0} ) = \frac{14}{30} \end{eqnarray}$ Das ist allerdings ungleich den 1/2, was es eigentlich nach a/(a+b) sein müsste...
04.11.2012, 17:31	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich korrigiere mich, is alles ok. ^^
04.11.2012, 17:31	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist gleich doppelt erschütternd. Erstens, weil du offenbar an der allgemeinen Rechnung zweifelst. Sonst würdest du ja kein Beispiel mit konkreten Zahlen rechnen. Zweitens, weil du nicht nach deinem Fehler suchst. Denn es muss ja ein Fehler vorliegen. Ich komme bei dem konkreten Beispiel auf 1/2. Also suche deinen Fehler! Ich habe den leichten Verdacht, dass du den allgemeinen Schritt, obwohl simpel, $\begin{eqnarray} f(a,b,c) = \frac{a}{a+b+c}+\frac {c}{a+b+c}f(a,b,c-1)\\ =\frac{a}{a+b+c}+\frac {c}{a+b+c} \frac {a}{a+b} \\ =\frac {a(a+b)}{(a+b+c)(a+b)}+ \frac {ac}{(a+b+c)(a+b)} \\ =\frac {a(a+b+c)}{(a+b+c)(a+b)} \\ = \frac {a}{a+b} \end{eqnarray}$ doch nicht hinbekommen hast.
04.11.2012, 17:33	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Da war ich schneller als du tut mir leid, habs wohl hinbekommen Aber trotzdem danke. ^^

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