Stochastik Formel

01.11.2012, 20:54

fleurita

Stochastik Formel

Meine Frage:
guten abend ihr. Ich hab vorhin hier: "mein thread" eine frage ungeschickt gestellt. Ich glaub mit der kann niemand was anfangen, ich wollte sie möglichst einfach halten smile

Also hier die richtige frage: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}\! \sum\limits_{I\subset \{1,\dots , n\}\atop |I|=k}\!P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right) \end{eqnarray*}$

Ich würd gern diese summe z.b. für n=2 aufstellen.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2(-1)^{k+1}\! \sum\limits_{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=k}\!P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\ <br /> <br /> =\ (-1)^2\! \sum\limits_{\color{red}{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=1}}\!P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\ +\ (-1)^3\! \sum\limits_{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=2}\!P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)<br /> <br /> =\sum\limits_{\color{red}{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=1}}\!P\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\ -\ \Big(P(A_1)+P(A_1 \cap A_2)\Big) \end{eqnarray*}$

aber wie löse ich die "rote" summe auf? Eine teilmenge von {1,2} mit einem element kann ja {1} oder {2} sein? verwirrt

01.11.2012, 21:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von fleurita
aber wie löse ich die "rote" summe auf? Eine teilmenge von {1,2} mit einem element kann ja {1} oder {2} sein? verwirrt

Richtig, also ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\color{red}{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=1}} P\left( \bigcap_{i\in I} A_i \right) = P(A_1)+P(A_2) \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten, subtrahierten Summe gibt es aber nur die eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} I=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ der Mächtigkeit 2, hier ist demnach

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=2} P\left( \bigcap_{i\in I} A_i \right) = P(A_1\cap A_2) \end{eqnarray*}$ .

01.11.2012, 22:00

fleurita

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super danke! Dann habe ich ja wenigstens die 2. richtig gemacht. Also dann ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\color{red}{I\subset \{1, 2\}\atop |I|=1}} P\left( \bigcap_{i\in I} A_i \right)\ =\ \sum\limits_{i\in I=\{1\}\atop i\in I=\{2\}} P\left( \bigcap_{i\in I} A_i \right)\ =\ \sum\limits_{ i\in I=\{1\}} P\left( \bigcap_{i\in I} A_i \right)+\sum\limits_{ i\in I=\{2\}} P\left( \bigcap_{i\in I} A_i \right) \end{eqnarray*}$

Ist das dann sowas wie 2 summen in einer? verwirrt

01.11.2012, 22:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von fleurita
super danke! Dann habe ich ja wenigstens die 2. richtig gemacht.

2. richtig??? Und wieso hast du dann oben $\begin{eqnarray*} (P(A_1)+P(A_1\cap A_2)) \end{eqnarray*}$ statt des richtigen $\begin{eqnarray*} P(A_1\cap A_2) \end{eqnarray*}$ geschrieben? verwirrt

03.11.2012, 10:04

fleurita

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weil es ziemlich spät am abend war smile

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