Urbild von A unter f

01.11.2012, 23:23

TalkShowHost

Urbild von A unter f

Meine Frage:
Sei f : X "nach" Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Für alle A "teilmenge" Y gilt f (f^-1(A))"teilmenge" A.
(b) Falls f surjektiv ist, so gilt f (f^-1(A)) = A für alle A "teilmenge" Y .
(c) Für alle B "teilmenge" X gilt f^-1 (f(B)) B:
(d) Falls f injektiv ist, so gilt f^-1 (f(B)) = B für alle B "teilmenge" X.

das ist die Aufgabe, an der es harpert...

Meine Ideen:
ich weiß, dass f(A): = {x ? X ; f(x) ? A } ist. hatte dann immer verschiedene ansätze, aber keiner wollte so richtig...

02.11.2012, 09:02

RavenOnJ

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Überarbeite das mal mit Latex! Was soll c) sein?

Gruß
Peter

02.11.2012, 09:50

TalkShowHost

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Meine Frage:
Sei f : X $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Für alle A $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Y gilt f (f^-1(A)) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A.
(b) Falls f surjektiv ist, so gilt f (f^-1(A)) = A für alle A $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Y .
(c) Für alle B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ X gilt f^-1 (f(B)) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ B:
(d) Falls f injektiv ist, so gilt f^-1 (f(B)) = B für alle B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ X.

das ist die Aufgabe, an der es harpert...

Meine Ideen:
ich weiß, dass f(A): = {x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X ; f(x) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A } ist. hatte dann immer verschiedene ansätze, aber keiner wollte so richtig...

ich hoffe dieses mal klappts

02.11.2012, 10:17

RavenOnJ

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Ich habe das Ganze mal in Latex gesetzt:

Zitat:

Original von TalkShowHost
Meine Frage:
Sei $\begin{align*} f : X \to Y \end{align*}$ eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Für alle $\begin{align*} A\subset Y \end{align*}$ gilt $\begin{align*} f (f^{-1}(A))\subset A \end{align*}$ .
(b) Falls f surjektiv ist, so gilt $\begin{align*} f (f^{-1}(A)) = A \end{align*}$ für alle $\begin{align*} A\subset Y \end{align*}$ .
(c) Für alle $\begin{align*} B \subset X \end{align*}$ gilt $\begin{align*} f^{-1} (f(B))\subset B \end{align*}$ :
(d) Falls f injektiv ist, so gilt $\begin{align*} f^{-1} (f(B)) = B \end{align*}$ für alle $\begin{align*} B \subset X \end{align*}$ .

das ist die Aufgabe, an der es harpert...

Meine Ideen:
ich weiß, dass $\begin{align*} f(A): = \{x \in X ; f(x) \in A \} \end{align*}$ ist. hatte dann immer verschiedene ansätze, aber keiner wollte so richtig...

An mehreren Stellen sollte wohl eher $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ stat $\begin{align*} \subset \end{align*}$ stehen.

Ich frage mich allerdings, soll $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ die Urbildfunktion von $\begin{align*} f \end{align*}$ sein, oder soll $\begin{align*} f \end{align*}$ umkehrbar sein, $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ also die Umkehrfunktion? Steht vielleicht irgendwo, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ injektiv oder sogar bijektiv ist?

Gruß
Peter

02.11.2012, 11:01

TalkShowHost

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es ist wirklich nur "teilmenge" und nicht "teilmenge gleich".
ich vermute, da ist die umkehrfunktion gemeint,aber genau weiß ich es auch nicht.. deshalb auch meine frage hier...
also die aufgabe ist so wie es da steht, was anderes stand da nicht :/

02.11.2012, 11:18

EinGast

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mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ ist die Urbildmenge von $\begin{eqnarray*} A\subseteq Y \end{eqnarray*}$ gemeint, also

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)=\{x\in X\mid f(x)\in A\} \end{eqnarray*}$

Da braucht die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht zu existieren...
Bei (c) sollte die Inklusion übrigens anders herum sein.

02.11.2012, 12:11

RavenOnJ

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Zitat:

Original von EinGast
mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ ist die Urbildmenge von $\begin{eqnarray*} A\subseteq Y \end{eqnarray*}$ gemeint, also

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)=\{x\in X\mid f(x)\in A\} \end{eqnarray*}$

Da braucht die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht zu existieren...

Ich vermute auch, dass mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ die "Urbildfunktion" gemeint ist.

Zitat:

Bei (c) sollte die Inklusion übrigens anders herum sein.

Denk ich auch, zumal, wenn wirklich die Urbildfunktion gemeint ist. Dann muss es so sein. Deswegen war auch meine Frage, ob f umkehrbar ist. Also sollte es wohl besser so heißen:
(c) Für alle $\begin{align*} B \subset X \end{align*}$ gilt $\begin{align*} f^{-1} (f(B))\supseteq B \end{align*}$

Gruß
Peter

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