Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln

01.11.2012, 23:30

Anahita

Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln

Hi

Ich würde gerne für die zwei folgenden Folgen das Verhalten für n gegen unendlich bzw. den Grenzwert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1+a^{n} }{1+b^{n} } \end{eqnarray*}$

für a,b > 1

Hier kann ich ja z.B. l'hopital anwenden, weiss aber nicht so ganz, ob es mir was bringt..wie gehe ich hier vor? Wie gehe ich vor bei 0 < a,b < 1? Hier würde der Grenzwert ja 1 geben, aber wie zeige ich das sauber? Über das klassische epsilon-Argument?

Die zweite Folge:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+ a^{n})^{1/n} \end{eqnarray*}$

für a > 1 ist es einfach zu sehen, dass der Grenzwert a sein muss - doch auch hier wieder: wie beweist man das sauber? Und für 0 < a <1 wäre der Grenzwert ja 1, und wie zeigt man das?

Sorry die vielen Fragen, ich bin nicht faul oder so, kleine Tipps helfen auch schon und ich versuch dann selber zu lösen :-)

02.11.2012, 09:15

RavenOnJ

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Wie wäre in der ersten Folge der Limes, wenn die Konstanten (1) fehlen würden? In der Aufgabe musst du ohne l'Hospital rechnen, der ist hier nicht zu gebrauchen.

Gruß
Peter

02.11.2012, 09:20

klarsoweit

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RE: Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln

Zitat:

Original von Anahita
Die zweite Folge:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+ a^{n})^{1/n} \end{eqnarray*}$

für a > 1 ist es einfach zu sehen, dass der Grenzwert a sein muss - doch auch hier wieder: wie beweist man das sauber? Und für 0 < a <1 wäre der Grenzwert ja 1, und wie zeigt man das?

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a \leq \lim_{n \to \infty } (1+ a^n)^{1/n} \leq \lim_{n \to \infty } (a^n + a^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ für a > 1.
Der Rest ist dann ein Klacks. smile

02.11.2012, 11:11

Anahita

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Zu der ersten Folge:

lim_n (1+a^n)/(1+b^n) = lim (1) + lim(a^n)/ lim (1) + lim(b^n) und für 0 < a,b < 1 folgt dann natürlich mit dem Konvergenzverhalten der geometrischen Folge dass der Grenzwert gegen 1 geht........

Zu der zweiten Folge (@klarsoweit):

Bezüglich

$\begin{eqnarray*} a \leq lim_n(1+a^{n})^{1/n} \end{eqnarray*}$

sagst du, dass wenn eine Folge gegen unten beschränkt sowie monton wachsend ist, ist ihr Grenzwert grössergleich die untere Schranke (es gilt ja $\begin{eqnarray*} a^{n} \leq 1+ a^{n} \end{eqnarray*}$ ).

Die zweite Ungleichung ... <= lim_n (a^n + a^n)^1/n folgt einfach aus 1 =< a^n was für a > 1 offensichtlich der Fall ist. Stimmt das soweit?

02.11.2012, 12:03

klarsoweit

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Zur 1. Folge: du mußt natürlich noch den Fall a,b > 1 betrachten.

Zur 2. Folge:

Zitat:

Original von Anahita
Bezüglich

$\begin{eqnarray*} a \leq lim_n(1+a^{n})^{1/n} \end{eqnarray*}$

sagst du, dass wenn eine Folge gegen unten beschränkt sowie monton wachsend ist, ist ihr Grenzwert grössergleich die untere Schranke (es gilt ja $\begin{eqnarray*} a^{n} \leq 1+ a^{n} \end{eqnarray*}$ ).

Nee, das sage ich nicht, sondern dieses:

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a = (a^n)^{1/n} \leq (1 + a^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ .

Mithin muß auch der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (1 + a^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ größer oder gleich a sein. Das hat mit wachsender Monotonie gar nichts zu tun.

Ansonsten paßt es.

02.11.2012, 12:38

RavenOnJ

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Zitat:

Original von klarsoweit
Zur 1. Folge: du mußt natürlich noch den Fall a,b > 1 betrachten.

denn das war ja die eigentliche Frage.

Gruß
Peter

02.11.2012, 15:36

Anahita

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1. Folge

Ich bin blöd. Natürlich a,b > 1, das hatte mich ja beschäftigt. Wenn ich, wie von dir Peter vorgeschlagen den konstanten Term wegdenke, dann divergieren sowohl Zähler wie auch Nenner. Deswegen kam ich auch auf l'hopital und wusste dann doch nicht weiter, weils hier nicht viel zu bringen scheint. Also wie genau...?

2. Folge

Jap klar, ich schreib mal das Ganze formal auf!

Bis bald

02.11.2012, 15:46

klarsoweit

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RE: Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln
Nehmen wir den Fall a > b > 1. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+a^n}{1+b^n} > \frac{a^n}{b^n + b^n} \end{eqnarray*}$

Was kannst du jetzt über das Konvergenzverhalten des Bruchs auf der rechten Seite aussagen?

03.11.2012, 13:41

Anahita

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RE: Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln
Hi :-)

Ich verstehe die Begründung der Konvergenz der ersten Folgen noch nicht ganz. Die Folge war ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+ a^{n})^{1/n} \end{eqnarray*}$

Du hast gesagt, dass:

Zitat:

Original von klarsoweit

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a \leq \lim_{n \to \infty } (1+ a^n)^{1/n} \leq \lim_{n \to \infty } (a^n + a^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ für a > 1.
Der Rest ist dann ein Klacks. smile

Die Folge $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a^n + a^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ lässt sich ja offensichtlich umformen zu: $\begin{eqnarray*} a * \lim_{ n\to \infty } 2^{1/n} \end{eqnarray*}$

sie konvergiert also. Damit hat unsere Folge eine obere Schranke. Müsste man für ihre Konvergenz nicht noch zeigen, dass sie monoton ist? Oder ist das da hier so etwas wie ein Majorantenkriterium für Folgen?

Wenn sie konvergiert ist der Grenzwert offensichtlich kleiner als der Grenzwert der Folge rechts, aber DASS sie konvergiert haben wir ja noch gar nicht gezeigt.

Zu der zweiten Folge:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n}}{b^{n}+b^{n}} \end{eqnarray*}$

divergiert mMn für a > b > 1.

lg

04.11.2012, 18:23

Anahita

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Ich weiss hier im Forum mögt ihr es nicht wenn man Beiträge pusht, aber ich bin da immer noch nicht weiter gekommen und würde mich über eine Antwort freuen.

05.11.2012, 09:09

klarsoweit

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RE: Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln

Zitat:

Original von Anahita
Müsste man für ihre Konvergenz nicht noch zeigen, dass sie monoton ist? Oder ist das da hier so etwas wie ein Majorantenkriterium für Folgen?

Wenn sie konvergiert ist der Grenzwert offensichtlich kleiner als der Grenzwert der Folge rechts, aber DASS sie konvergiert haben wir ja noch gar nicht gezeigt.

Die Sache ist die: wenn es zu der Folge a_n zwei Folgen b_n und c_n gibt mit $\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ und die Folgen b_n und c_n konvergieren beide gegen den Grenzwert a, dann konvergiert auch die Folge a_n und zwar auch gegen a. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Anahita
Zu der zweiten Folge:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n}}{b^{n}+b^{n}} \end{eqnarray*}$

divergiert mMn für a > b > 1.

Richtig. Jetzt brauchst du noch den Fall b > a > 1. smile

05.11.2012, 12:29

Anahita

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RE: Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln

Zitat:

Original von klarsoweit

Die Sache ist die: wenn es zu der Folge a_n zwei Folgen b_n und c_n gibt mit $\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ und die Folgen b_n und c_n konvergieren beide gegen den Grenzwert a, dann konvergiert auch die Folge a_n und zwar auch gegen a. Augenzwinkern

Ok, kenn ich! Mir war nicht bewusst, dass auch (c)^1/n für eine Konstante c gegen 1 konvergiert (also analog zu n^1/n).

Zitat:

Original von Anahita
Zu der zweiten Folge:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n}}{b^{n}+b^{n}} \end{eqnarray*}$

divergiert mMn für a > b > 1.

Richtig. Jetzt brauchst du noch den Fall b > a > 1. smile

Das konvergiert natürlich gegen Null :-)

05.11.2012, 13:12

klarsoweit

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RE: Konvergenz Folgen mit Bruch, Wurzeln
Dafür brauchen wir natürlich eine andere Abschätzung, z. B.:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+a^n}{1+b^n} \leq \frac{a^n + a^n}{b^n} \end{eqnarray*}$

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