Vergleichskriterium für die Folgenkonvergenz

02.11.2012, 00:09

dodobird

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Vergleichskriterium für die Folgenkonvergenz

Aufgabe

a) Sei $\begin{eqnarray*} K \geq 1 \end{eqnarray*}$ fest gegeben. Folgern Sie aus der Aussage $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} = 1 \end{eqnarray*}$

b) Zeigen Sie, dass sogar für alle $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{K} = 1 \end{eqnarray*}$

c) Es seien a und b beliebige nicht negative reelle Zahlen. Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n}+ b^{n}} = max \left\{ a,b\right\} \end{eqnarray*}$

Anmerkung am Rande: Benutzen Sie zur Lösung dieser Aufgabe unter anderem das Vergleichskriterium für die Folgen Konvergenz.

Hallo liebe Mathegemeinde,
so ist meine Aufgabe gestellt an der ich knabberund ich finde nicht so recht den Zugang zu ihr. Mir ist klar, dass ich über das Vergleichskriterium eine gesuchte Folge einschachteln und sie so lösen kann.Vielleicht kann mir einer wichtige Ansatzpunkte liefern, wie ich da auf einen grünen Zweig komme.
Vielen Dank

02.11.2012, 09:11

RavenOnJ

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RE: Vergleichskriterium für die Folgenkonvergenz
zu a): Was ist denn auf alle Fälle größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} K\geq 1 \end{eqnarray*}$ ?
Und welche Zahl ist auf alle Fälle kleiner oder gleich diesem Ausdruck?

Gruß
Peter

03.11.2012, 21:34

dodobird

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RE: Vergleichskriterium für die Folgenkonvergenz
Danke für Deine Antwort, Peter^^

also ich vermute mal das K eine Art Schranke ist. Ich würde sagen, dass jede positive Zahl größer oder gleich dem Wert ist und für den unteren Wert ist es 1, weil 0 ja ein unbestimmter Ausdruck wäre und K=1 die größte untere Schranke.

03.11.2012, 21:43

Sly

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Deinen Satz verstehe ich nicht, dodobird. Hört sich aber mehr an wie "Beweis durch Beispiel", und das bringt dir wenig.

Ich ahne vielleicht, was dir weiterhelfen könnte: Vergleichskriterien für Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n), (b_n) \end{eqnarray*}$ müssen nicht überall für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten. Für das Konvergenzverhalten ist nur wichtig, was für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ passiert, d.h. wenn ein gewisses Vergleichskriterium gilt (zum Beispiel) für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N, \end{eqnarray*}$ kannst du daraus genauso gut Dinge für die Konvergenz folgern.

Wie RavenOnJ schon andeutete: Wie könnte man denn die Folge $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{K})_n \end{eqnarray*}$ abschätzen? Nicht notwendig für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber beispielsweise "große" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ...? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 22:06

dodobird

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Hey, Sly!

Okay, ich bin mit der ganzen Materie im Umgang noch nicht so sicher, deswegen versuch ich es anhand von Zahlenbeispielen zu verdeutlichen.^^
Ja ich glaube ich weiß was du meinst. Ich schlage mal kurz nach. Moment

03.11.2012, 22:39

dodobird

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{K} \Rightarrow 1 \leq \sqrt[n]{K} \geq 1 + ... \end{eqnarray*}$

ich weiß aber leider nicht wie ich die Ungleichung rechts abschätzen muss.

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03.11.2012, 23:03

Sly

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Um das klarzustellen: Du sollst die Folge nach oben abschätzen. Nach unten ist sie schon durch 1 begrenzt.

04.11.2012, 00:04

dodobird

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{K} \Rightarrow 1 \leq \sqrt[n]{K} \leq 1 + ... \end{eqnarray*}$

Tschuldigung, dass größer gleich sollte natürlich in die andere Richtung zeigen. Ich bin mir nur nicht sicher wie ich, die rechte Ungleichung so abschätze, dass es richtig ist. Sagt man nicht immer, die gewählte Zahl sei beliebig, aber fest - also man kann jede größere Zahl verwenden?

04.11.2012, 00:09

RavenOnJ

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guck dir nochmal dein erstes Posting an, da stand was von einem Limes der n-ten Wurzel aus n ...

Deine ... am Ende, was sollen die da noch? Das Ergebnis steht doch fast schon da, es fehlt nur noch der letzte Schritt und natürlich die Begründung für die Abschätzungen.

Gruß
Peter

04.11.2012, 11:08

dodobird

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$\begin{eqnarray*} 1\leq K \leq n \end{eqnarray*}$ für die großen n
und dann schnüre ich es ein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1} \leq \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K} \leq \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Ist das so in etwa richtig?

04.11.2012, 11:49

RavenOnJ

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ja, und dann??

Gruß
Peter

04.11.2012, 20:02

dodobird

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Für die 3 reellen Zahlenfolgen $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1} , \sqrt[n]{K} , \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \exists N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \forall n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{K} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ ist konvergent und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 21:32

dodobird

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Liege ich mit der Begründung richtig oder ist es noch zu ungenau? Ich bin mit den mathematischen Beweis und Begründungsmethoden noch nicht wirklich vertraut.

05.11.2012, 01:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dodobird
Für die 3 reellen Zahlenfolgen $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1} , \sqrt[n]{K} , \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \exists N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \forall n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{K} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

sag doch einfach:
$\begin{eqnarray*} \forall n \text{ mit } n > K >1: \sqrt[n]{K} <\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1} \cdots \end{eqnarray*}$

also, das finde ich jetzt etwas übertrieben. Man kann dazu auch einfach 1 sagen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ ist konvergent und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Erstmal gilt nur
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K} \leq \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = ? \end{eqnarray*}$

Was für das Fragezeichen eingesetzt werden muss, sollte jetzt klar sein.

Gruß
Peter

05.11.2012, 23:54

dodobird

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Also ich muss ja beweisen, dass für $\begin{eqnarray*} K \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{K} = 1\,, \end{eqnarray*}$ und das Resultat verwende ich für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1\ . \end{eqnarray*}$

Danke vielmals für die Hilfestellung von deiner Seite, Peter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es hat mir sehr geholfen.

06.11.2012, 00:06

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dodobird
... und das Resultat verwende ich für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1\ \end{eqnarray*}$

das kannst du jetzt allerdings nicht schreiben, da dies ja schon benutzt wurde, um $\begin{align*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{K} = 1 \end{align*}$ zu beweisen.

Zitat:

Danke vielmals für die Hilfestellung von deiner Seite, Peter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es hat mir sehr geholfen.

bitte sehr, gern geschehen smile

smile

.

Gruß
Peter

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