Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

02.11.2012, 11:19

Bornstein

Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

Meine Frage:
Der Fluss von $\begin{eqnarray*} V= \begin{pmatrix} xy^2 \\ x^2y \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} B= \left\{ (x,y,z)\in R^3: x^2+y^2 1, -1\leq z\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mit dem Satz von Gauss:

$\begin{eqnarray*} \int_{V(B)} \! div(V) do = \int_{V(B)} \! x^2+y^2 do = \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \! r^3 dr d\phi dz = \pi \end{eqnarray*}$

Das sollte stimmen.

Aber direkt:

Aufteilen der Oberfläche:

$\begin{eqnarray*} S1= \left\{ (x,y,-1): 0\leq x^2+y^2\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S2= \left\{ (x,y,1): 0\leq x^2+y^2\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S3= \left\{ (x,\sqrt{1-x^2},z): -1\leq x\leq 1, -1\leq z \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt:

$\begin{eqnarray*} S1 \end{eqnarray*}$ ergibt: $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{2\pi} \! r^2 \sin(\phi) d\phi dr = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S2 \end{eqnarray*}$ ergibt: $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{2\pi} \! -r^2 \sin(\phi) d\phi dr = 0 \end{eqnarray*}$

Und bei $\begin{eqnarray*} S3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Phi : \begin{pmatrix} \phi & z \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}\cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \Phi_{\phi} \times \Phi_{z} =\begin{pmatrix}\cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dadurch das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} \! 2\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi dz=0 \end{eqnarray*}$

Was ache ich da falsch?

Danke für eure Hilfe!

02.11.2012, 11:32

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B
@ Bornstein:

du stellst hier dauernd irgendwelche Fragen - ohne die Antworten zur Kenntnis zu nehmen
bzw. zumindest ohne Reaktion auf Antworten.. geschockt

klar, dass man da nicht mehr mitmacht ...
Wink

02.11.2012, 12:23

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

Zitat:

Original von Bornstein

Und dadurch das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} \! 2\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi dz=0 \end{eqnarray*}$

Das Integral ist richtig, aber warum sollte das 0 ergeben? Kann gar nicht sein, da der Integrand positiv definit ist.

Noch ein Tipp: Man kann das Integral über $\begin{align*} \phi \end{align*}$ sehr schnell ohne große partielle Integration angeben, wegen Symmetriegründen.

Gruß
Peter

02.11.2012, 12:30

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

Zitat:

Original von Bornstein

Mit dem Satz von Gauss:

$\begin{eqnarray*} \int_{V(B)} \! div(V) do = \int_{V(B)} \! x^2+y^2 do = \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \! r^3 dr d\phi dz = \pi \end{eqnarray*}$

das Ergebnis stimmt leider nicht, du unterschlägst einen Faktor. Bei richtiger Rechnung wirst du sehen, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.

Gruß
Peter

02.11.2012, 14:30

Bornstein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

das Ergebnis stimmt leider nicht, du unterschlägst einen Faktor. Bei richtiger Rechnung wirst du sehen, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.

Gruß
Peter

Hi Peter

Danke!

Ich bekomme jetzt folgendes für $\begin{eqnarray*} S3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} \! 2\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi dz= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \int_0^{2\pi} \! \cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi=4 \int_0^{2\pi} \! (1-\sin^2(\phi))\sin^2(\phi) d\phi= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \int_0^{2\pi} \! (\sin^2(\phi)-\sin^4(\phi)) d\phi = 4\pi -4 \int_0^{2\pi} \! \sin^4(\phi) d\phi = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\pi - \frac{3}{4} \int_0^{2\pi} \! sin^2(\phi) d\phi = 4\pi- \frac{3}{4} 4\pi = \pi \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich das gleiche Resultat wie bei:

Zitat:

...was meinst du dazu?

Danke und Gruss

edit von sulo: Zeilenumbrüche für eine bessere Lesbarkeit eingefügt.

02.11.2012, 14:30

Bornstein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

Zitat:

Original von original
@ Bornstein:

du stellst hier dauernd irgendwelche Fragen - ohne die Antworten zur Kenntnis zu nehmen
bzw. zumindest ohne Reaktion auf Antworten.. geschockt

klar, dass man da nicht mehr mitmacht ...
Wink

02.11.2012, 22:51

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt ist alles richtig; ich hatte mich um den Faktor 2 verrechnet.

Gruß
Peter

Neue Frage »

Antworten »

Fluss des Vektorfelds V durch das Gebiet B

Verwandte Themen