Nach Bogenlänge param. Kurve / Krümmung

02.11.2012, 12:16	wurzelminuseins	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Bogenlänge param. Kurve / Krümmung Meine Frage: Hallo, ich soll zeigen das die Kurve $\begin{eqnarray} c(t):=\int_0^t \! e^{if(s)} \, ds \end{eqnarray}$ für jede Funktion $\begin{eqnarray} f\in C^{1}((0,\infty ),\mathbb R ) \end{eqnarray}$ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Die Krümmung berechnen. Ich habe da mal was gerechnet, aber bin mir nicht sicher ob das so stimmt, wäre nett wenn mal jemand drüber schauen könnte, danke. Meine Ideen:* Nach Bl. param. ist eine Kurve wenn $\begin{eqnarray} \|\dot{c}(t)\| = 1 \end{eqnarray}$ , also: $\begin{eqnarray} \dot{c}(t)= d/dt \int_0^t \! e^{if(s)} \, ds = e^{if(t)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| e^{if(t)}\| = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f(t) \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Geht das so einfach, oder darf ich das so nicht rechnen? Wegen der Krümmung habe ich mir überlegt: $\begin{eqnarray} \|k(t)\|:= \|d/dt \dot{c}(t)\| \end{eqnarray*}$ ?
02.11.2012, 12:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Allerdings solltest du auch noch den Schluß ziehen (vielleicht hast du das ja für selbstverständlich gehalten): $\begin{eqnarray} \int_0^{t_0} \left\| \dot{c}(t) \right\| ~ \dd t = \int_0^{t_0} \dd t = t_0 \end{eqnarray}$ Der Parameterwert gibt also zugleich die Bogenlänge des Kurvenstücks vom Anfangspunkt bis zum Punkt mit diesem Paramterwert an. Auch die Sache mit der Krümmung stimmt. Man könnte das allerdings noch in $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ausdrücken.
02.11.2012, 16:34	wurzelminuseins	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das mit der Bogenlänge sollte ich auch erwähnen. Für die Krümmung hätte ich dann: $\begin{eqnarray} \|k(t)\| = \|d/dt \dot{c}(t)\| = \| ie^{if(t)} \dot{f}(t)\| = \|i\|\|e^{if(t)}\|\|\dot{f}(t)\| = 1 1 * \|\dot{f}(t)\| = \|\dot{f}(t)\| \end{eqnarray*}$ Kommt das hin?

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