Einheitskugel nicht kompakt

02.11.2012, 12:22

Gast11022013

Einheitskugel nicht kompakt

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die Einheitskugel in $\begin{eqnarray*} \ell_2 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} B=\left\{x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\ell_2 : \lVert x\rVert\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$ ,

nicht kompakt ist.

Meine Ideen:
Moin, also erstmal habe ich mir überlegt, dass ja $\begin{eqnarray*} (\ell_2,\mathcal{T}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{T}=\left\{A\subseteq \ell_2:A\mbox{ offen bzgl. }\lVert\cdot\rVert_2\right\} \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum ist und $\begin{eqnarray*} B\subset\ell_2 \end{eqnarray*}$ kompakt ist, wenn $\begin{eqnarray*} (B,\mathcal{T}_{B}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{T}_{B}=\left\{B\cap T:T\in\mathcal{T}\right\} \end{eqnarray*}$ kompakt ist.

Ich muss also widerlegen, dass jede offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung enthält, d.h., daß

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in I}U_i=B, U_i\mbox{ offen in }B\Rightarrow \exists~I'\subset I:\lvert I'\rvert<\infty,\bigcup_{i\in I'}U_i=B \end{eqnarray*}$ .

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Betrachte dazu die Teilmenge $\begin{eqnarray*} E\subset B, E=\left\{e^i: i\in\mathbb{N}\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_n^{i}=\begin{cases}1, i=n\\0, &\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ , also die Menge der Einheitsfolgen.

Für diese gilt $\begin{eqnarray*} \lVert e^i-e^j\rVert_{2}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ .

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Wenn ich jetzt die offene Überdeckung

$\begin{eqnarray*} E\subset B\subset\bigcup_{x\in B}B_{1/2}(x) \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ betrachte und annehme, es gäbe eine endliche Überdeckung, also

$\begin{eqnarray*} B\subset \left(B_{1/2}(x_1)\cup\hdots\cup B_{1/2}(x_m)\right) \end{eqnarray*}$ , so müssten doch wegen $\begin{eqnarray*} E\subset B \end{eqnarray*}$ und der unendlichen Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die endlich vielen offenen Kugeln $\begin{eqnarray*} B_{1/2}(x_1),\hdots,B_{1/2}(x_m) \end{eqnarray*}$ jeweils verschiedene $\begin{eqnarray*} e^i, e^j \end{eqnarray*}$ enthalten (sonst käme das doch nicht hin, denn wie soll man unendlich viele Elemente auf endlich viele verteilen?). Es gäbe dann also mindestens eine offene Kugel $\begin{eqnarray*} B_{1/2}(x_k) \end{eqnarray*}$ , die zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} e^i, e^j \end{eqnarray*}$ enthielte.

Aber das wäre ja ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \lVert e^i-e^j\rVert_{2}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , denn angenommen, es wären $\begin{eqnarray*} e^i,e^j\in B_{1/2}(x_k), i\neq j \end{eqnarray*}$ , so hätte man doch

$\begin{eqnarray*} \lVert e^i-e^j\rVert_2\leq\lVert e^i-x_k\rVert_2+\lVert x_k-e^j\rVert_2<2\cdot\frac{1}{2}=1<\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Ich würde mich freuen, wenn sich jemand meinen Beweis ansehen könnte und mir sagen könnte, wo noch Fehler sind.

Danke!

02.11.2012, 12:46

RavenOnJ

Einheitskugel nicht kompakt

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