Ermitteln, ob sich zwei Graphen berühren

02.11.2012, 14:43

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ermitteln, ob sich zwei Graphen berühren

Hallo freunde der Zahlen, Wink

Wink

folgende Aufgabe, die ich lösen möchte und mich über Hilfe sehr freuen würde:

Prüfen sie, ob sich die Graphen der Funktion f und g berühren -> $\begin{eqnarray*} f(x)=x²-x-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3}x³-1 \end{eqnarray*}$

Lösung: meines wissens, berühren sich zwei Graphen, wenn sie den selben Funktionswert und dort die selbe steigung habe (Ist das richtig?)

1. Also ermittel ich erstmal gemeinsame Stellen, in dem ich die Ableitung beider Graphen gleichsetze -> f'(x)=g'(x)

x, = 0
x,,=2

2. jetzt setze ich x, und x, in die Ausgangsfunktionen ein um den Funktionswert zu ermitteln

x,=0
$\begin{eqnarray*} f(0)=-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$
g(0)=0

Stimmen nicht überein, also berühren sie sich an dieser Stelle nicht!

x,,=2
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Hier haben wir den selben Funktionswert, somit berühren die Graphen sich an dieser Stelle

3. schauen, ob beide die gemeinsame steigung haben. (muss ich das wirklich noch machen?)

$\begin{eqnarray*} f(x)=x²-x-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
f'(x)=2x-1
f'(2)=3

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3}x³-x \end{eqnarray*}$
g'(x)= x²-1
g'(2)=3

Steigung ist auch identisch!

Also am Punkt P $\begin{eqnarray*} (2/\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$ berühren sich beide Graphen!

Gruß

02.11.2012, 15:57

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Whisky,
du widersprichst dir: anfangs heißt g(x) noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}3x^3-1 \end{eqnarray*}$ , später wird aus der eins ein x.
Um Schnittpunkte zu bestimmen, setzt man die Funktionen gleich, und nicht deren erste Ableitungen. Die dienen zur Bestimmung eventueller gleicher Steigungen. Weder Null noch 2 sind Schnittpunkte deiner funktionen (vor allem ersteres sollte man problemlos beim bloßen Betrachten derselben erkennen).

Aber deine Definition von berühren stimmt schon mal Freude

Freude

Im Grunde musst du also nochmal von vorne anfangen. Viel Erfolg dabei smile

smile

Vorgehensweise:
Funktionen gleichsetzen und Schnittpunkte ermitteln
In diesen Punkten die Steigung überprüfen
Daraus kannst du dann Rückschlüsse ziehen.

Lg
kgV
Wink

Wink

02.11.2012, 16:52

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

HI,

und vielen dank für deine Hilfe!

Mist! mein fehler. es soll natürlich heißen : ; $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3}x³-x \end{eqnarray*}$ , war da in Gedanken wohl schon teilweise bei der Ableitung unglücklich

unglücklich

GRUß

02.11.2012, 17:12

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht klar

Freude

Wenn es bei der Aufgabe irgendwelche Schwierigkeiten gibt, melde dich ruhig. Da ich aber zu einem Kegelspiel muss, wird hier jemand anderes übernehmen smile

smile

03.11.2012, 13:06

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV

Um Schnittpunkte zu bestimmen, setzt man die Funktionen gleich, und nicht deren erste Ableitungen. Die dienen zur Bestimmung eventueller gleicher Steigungen. Weder Null noch 2 sind Schnittpunkte deiner funktionen (vor allem ersteres sollte man problemlos beim bloßen Betrachten derselben erkennen).

Ohhhh...
das habe ich gestern tatsächlich überlesen!

In meiner Aufgabe steht aber als Tipp: Bei ganzrationalen Funktionen sucht man zunächst die Stellen mit gleicher Steigung, also für die f ' (x)=g ' (x).
2x-1=x²-1 hat die Lösung x, = _____ und x,,= _____. Gilt auch f(x)=g(x) für beide stellen?

Ich werde mich in einer Stunde ransetzen und es nochmal so machen, wie du es geschrieben hast!

03.11.2012, 13:09

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann kaum etwas anderes: du suchst zuerst die Stellen mit gleicher Steigung und überprüfst dann, ob sie auch Schnittpunkte sind. Im Grunde die obige Variante von hinten smile

smile

Anzeige

03.11.2012, 14:33

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

OK! Danke dir! jetzt wollte ich f(x) und g(x) gleichsetzen und stoße schon an meine mathematischen Grenzen:

$\begin{eqnarray*} x²-x- \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x \end{eqnarray*}$ | +x
$\begin{eqnarray*} x²- \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³ \end{eqnarray*}$ |-x²
$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x² \end{eqnarray*}$ |: (-1/3)
4=x³-x²

weiter weiß ich nicht ... unglücklich

unglücklich

oder habe ich was falsch gemacht?

03.11.2012, 14:42

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Den letzten Schritt würde ich noch mal überprüfen. Dir sind da die Vorzeichen durcheinandergeraten.
Außerdem ist der letzte Term bei dir jetzt zu $\begin{eqnarray*} \frac{4}3 \end{eqnarray*}$ mutiert. Welcher von beiden stimmt?

Hier wird aber letztenendes alles auf eine Polynomdivision hinauslaufen

03.11.2012, 15:02

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV
Den letzten Schritt würde ich noch mal überprüfen. Dir sind da die Vorzeichen durcheinandergeraten.
Außerdem ist der letzte Term bei dir jetzt zu $\begin{eqnarray*} \frac{4}3 \end{eqnarray*}$ mutiert. Welcher von beiden stimmt?

Hier wird aber letztenendes alles auf eine Polynomdivision hinauslaufen

4/3 Stimmt geschockt

geschockt

Sorry!

ich weiß nicht wo ich den Vorzeichenfehler drin habe... außer vllt. dort

$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x² \end{eqnarray*}$ |: (-1/3)
4=x³-x²

Dachte aber das wird so gemacht verwirrt

verwirrt

03.11.2012, 15:11

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, du dividierst durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrbruch multiplizierst- und zwar alle Terme. Deine linke Seite ist vollkommen in Ordnung, die rechte macht mir Sorgen...
Auch die rechte Seite wird vollständig mit -3 multipliziert.

Für die Polynomdivision würde ich die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ vorschlagen, die sieht man eigentlich recht schnell

03.11.2012, 15:48

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

4=x³+3x²

Mir war nicht mehr geläufig, dass ich jede zahl Dividieren oder Multiplizieren muss smile

smile

danke!

Zur Polynomdivision muss ich sagen, dass ich das noch gar nicht hatte (ich musste mir auch die Substitution selbst beibringen^^)! ich habe mal eben eine Kurzrecherche dazu betrieben und wüsste auch nicht, was mir das hier bringt und wie ich es einsetzen soll unglücklich

unglücklich

Woher nimmst du die x=2? Wähslt du sie, da sich damit am einfachsten rechnen lässt?

03.11.2012, 15:56

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine winzigkeit hätte ich noch zu bemängeln: $\begin{eqnarray*} 4=3x^2\color{red}-\color{black}x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ habe ich gewählt, weil 2 eine Nullstelle ebendieser Funktion ist. Mein Einwand von oben bezog sich auf die falsche Funktion.

Zur Polynomdivision: Sie ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungen, bei dem durch ein Polynom dividiert wird.
Ich finde, in diesem Link wird sie sehr gut erklärt, ich habe sie auch von hier gelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm#bsp
Sieh dir das Beispiel mal an, und frag bei Schwierigkeiten nach smile

smile

03.11.2012, 16:00

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x² \end{eqnarray*}$ |: (-1/3)

Minus * oder : minus ergeben doch aber plus, oder nicht?

Ich schau da gleich mal nach und melde mich dann, wenn ich es so weit ahbe... danke Freude

Freude

03.11.2012, 16:05

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch was zur x=2,
wenn ich doch aber mit f(x)=g(x) beginne, dann habe ich doch x=2 noch gar nicht! verwirrt

verwirrt

03.11.2012, 16:05

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Minus * oder : minus ergeben doch aber plus, oder nicht?

Das stimmt so allgemein nicht.
Divisionen oder Multiplikationen von negativen Zahlen durch/mit negativen Zahlen ergeben positive Zahlen. Divisionen oder Multiplikationen von positiven Zahlen mit/durch negative Zahlen ergeben aber negative Zahlen. Kurz: $\begin{eqnarray*} -\cdot-=+\text{und}+\cdot-=- \end{eqnarray*}$

03.11.2012, 16:07

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu: um die Polynomdivision durchzuführen, muss man eine Nullstelle kennen oder "gezielt raten"
Das geht leider nicht anders, gehört aber so zum Prozedere und dürfte deshalb beim Lehrer keine Schwierigkeiten machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 16:16

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 4=3x^2\color{red}-\color{black}x^3 \end{eqnarray*}$

Ok! jetzt sehe ich auch erst, was da passiert ist! danke smile

smile

Freude

wie Bilde ich den in diesem Fall das Polynom bzw. an welcher Stelle der gelichung bzw. des gleichsetzens beginne ich damit?

auf der website steht ja, was ducrh was geteilt werden soll. Woher weiß ich das aber in meinem Fall! smile

smile

03.11.2012, 16:20

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Du formst das, was du jetzt hast, so um, dass da steht: $\begin{eqnarray*} 0=... \end{eqnarray*}$
Im Grunde muss also die 4 nach rechts.
Da $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle dieser Funktion ist, kann man mit einer Division der Funktion durch sie die restlichen Nullstellen ermitteln. Dazu muss die Nullstelle noch in passende Form gebracht werden: Die funktion muss also durch den Term $\begin{eqnarray*} x-2 \end{eqnarray*}$ dividiert werden

edit: zu deinem edit: Es wird stets durch den Term $\begin{eqnarray*} (x-\text{bekannte Nullstelle}) \end{eqnarray*}$ dividiert

03.11.2012, 16:35

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

$\begin{eqnarray*} 4=3x^2\color{red}-\color{black}x^3 \end{eqnarray*}$ |-4

$\begin{eqnarray*} 0=3x^2\color{red}-\color{black}x^3-4 \end{eqnarray*}$

Könnte ich dann aber nicht schon hier so verfahren?

also, dass ich anstatt:
$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x² \end{eqnarray*}$ |: (-1/3)

$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x² \end{eqnarray*}$ | +4/3

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{1}{3}x³-x² + \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

oder geht das nicht?

03.11.2012, 16:38

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht natürlich auch, aber mir gefällt die Variante ohne Brüche besser, auch weil sie in einer Polynomdivision angenehmer zu bearbeiten ist smile

smile

Jetzt hast du also diese Division: $\begin{eqnarray*} (3x^2-x^3-4): (x-2) \end{eqnarray*}$
Versuch dich mal dran

03.11.2012, 17:11

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV
Geht natürlich auch, aber mir gefällt die Variante ohne Brüche besser, auch weil sie in einer Polynomdivision angenehmer zu bearbeiten ist smile

smile

Jetzt hast du also diese Division: $\begin{eqnarray*} (3x^2-x^3-4): (x-2) \end{eqnarray*}$
Versuch dich mal dran

Dann wollen wir mal! verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (3x^2-x^3-4): (x-2) \end{eqnarray*}$

habe ich umgestellt! Ich hoffe es geht, im Internet wurde aber gesagt man beginnt mit der größten Potenz!

$\begin{eqnarray*} (-x^3+3x^2-4): (x-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-x^3+3x^2-4): (x-2)=-x²+x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(-x^3+2x²) \end{eqnarray*}$
(x²-4)
-(x²-2x)
(-2x-4)
-(-2x+4)

Frag mich nicht, was oder wie ich das gemacht habe, ich weiß es selber nicht mehr ha ha ha ha ha ha ha Hammer

Hammer

03.11.2012, 17:17

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine Winzigkeit, ein kleiner Vorzeichenfehler:
$\begin{eqnarray*} (-x^3+3x^2-4) : (x-2)=(-x^2+x\color{red}+\color{black}2) \end{eqnarray*}$
du hast dich in Zeile 3 beim Auflösen der Klammer vertan. Ansonsten: Freude

Freude

Jetzt kannst du das Ergebnis mittels Mitternachtsformel auflösen, dann hast du deine Schnittpunkte. Dann bleibt noch eins: Überprüfen, ob es Punkte mit identischer Steigung sind

03.11.2012, 17:33

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV
Nur eine Winzigkeit, ein kleiner Vorzeichenfehler:
$\begin{eqnarray*} (-x^3+3x^2-4) : (x-2)=(-x^2+x\color{red}+\color{black}2) \end{eqnarray*}$
du hast dich in Zeile 3 beim Auflösen der Klammer vertan. Ansonsten: Freude

Freude

Jetzt kannst du das Ergebnis mittels Mitternachtsformel auflösen, dann hast du deine Schnittpunkte. Dann bleibt noch eins: Überprüfen, ob es Punkte mit identischer Steigung sind

$\begin{eqnarray*} -x²+x+2=0 \end{eqnarray*}$ |*(-1)

x²-x-2=0

p=-1 q=-2

$\begin{eqnarray*} x1,2= 1/2 \pm \sqrt{(1/2)²+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1,2= 0,5 \pm \sqrt{2,25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1,2= 0,5 \pm 1,5 \end{eqnarray*}$

x,=1
x,,=2

03.11.2012, 17:37

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast: Du hast die Nullstellen: $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$
0.5-1.5 ist -1
Zusammen mit der "geratenen" 2 ergeben sich die Nullstellen: $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2;x_3=-1 \end{eqnarray*}$
2 ist also eine doppelte Nullstelle
Jetzt musst du nur noch die Steigungen in den Punkten -1 und 2 für beide Funktionen übeprüfen

edit: alternativ könntest du auch die Definition einer doppelten Nullstelle heranziehen, aber dein Lehrer wird die Variante mit der ersten Ableitung haben wollen (wobei das mit "haben wollen", also sturer Schematalernerei nicht ganz meins ist)

03.11.2012, 17:47

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

OK! mein Hirn raucht! ich Brauch ne pause und setze mich gleich morgenfrüh als erstes ran!
Ich danke dir auf jeden fall für deine Hilfe und geduld! smile

smile

Also Polynomdivisision mache ich immer dann, wenn ich Nullstellen ermitteln möchte und der therm über die quadratische Funktion hinaus geht!? habe ich das richtig verstanden?

03.11.2012, 17:49

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Freude

Polynomdivision ist ein Lösungsverfahren zur Ermittelung von Nullstellen von Funktionen dritten und höheren Grades.
Viel Erfolg noch smile

smile

Bis morgen

04.11.2012, 12:53

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!

Also:

f'(2)=3
und g'(2)=3

passt somit!

f'(-1)=-3
und g'(x)=0

Passt somit nicht!
___________________________________________________________________________
_________

Fassen wir nochmal zusammen!

Überprüfen, ob f(x) Und g(x) sich berühren:

1. Funktionen gleichsetzen und Schnittpunkte ermitteln

$\begin{eqnarray*} x²-x- \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x \end{eqnarray*}$ | +x
$\begin{eqnarray*} x²- \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³ \end{eqnarray*}$ |-x²
$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3}= \frac{1}{3}x³-x² \end{eqnarray*}$ |: (-1/3)
$\begin{eqnarray*} 4=-x^3+3x^2 \end{eqnarray*}$ |-4
$\begin{eqnarray*} 0=-x^3+3x^2-4 \end{eqnarray*}$

1.1 Polynomdivision, da der therm es nicht ermöglicht, nach x aufzulösen und PQ-Formel hier noch nicht einsetzbar ist, um schittpunkte zu ermitteln.

Bei deiner Polynomdisision

Zitat:

wird stets durch den Term $\begin{eqnarray*} (x-\text{bekannte Nullstelle}) \end{eqnarray*}$ dividiert

. x- wert muss eraten/geschätzt werden!

$\begin{eqnarray*} (-x^3+3x^2-4): (x-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-x^3+3x^2-4): (x-2)=-x²+x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(-x^3+2x²) \end{eqnarray*}$
(x²-4)
-(x²-2x)
(-2x-4)
-(-2x+4)
0

1.2 Pq formel

$\begin{eqnarray*} -x²+x+2=0 \end{eqnarray*}$ |*(-1)

x²-x-2=0

p=-1 q=-2

$\begin{eqnarray*} x1,2= 1/2 \pm \sqrt{(1/2)²+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1,2= 0,5 \pm \sqrt{2,25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1,2= 0,5 \pm 1,5 \end{eqnarray*}$

x,=-1
x,,=2

2. Gemeinsamme Steigungen der der funktionen f(x) und g(x) bei x, und x,,

x,=2

f'(2)=3 und g'(2)=3

x,,=-1
f'(-1)=-3 und g'(x)=0

3. (ist zwar nicht nach gefragt aber ...) gemeinsammen y wert ermitteln
f(2)=2/3
g(2)=2/3

Die beiden Graphen berühren sich am Punkt P $\begin{eqnarray*} (2/\frac{2}{3} ) \end{eqnarray*}$

Richtig soweit?

Bleibt für mich eine Frage übrig! Wenn die PQ Formel nicht greift, habe ich als möglichkeit die Polynomdivision und die Substitution! Richtig? Die substitution kann ich aber nur anwenden, wenn x^4 und x² vorhanden ist, oder? Ansonsten wäre die Polynomdision dran!?

GRuß

04.11.2012, 13:06

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Saubere Leistung Freude

Freude

Ja, die Polynomdivision und die Substitution sind Lösungsverfahren für Gleichungen dritter und höherer Ordnung. Erstere ist universal anwendbar, hat aber den Nachteil, dass eine Nullstelle bekannt sein muss, was bei Funktionen à la :y=x^4-0.3456x^2+18.3452415=0 zu leichten Schwierigkeiten führen könnte Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Zweitere ist nur von Vorteil, wenn ausschließlich gerade Exponenten vorkommen

Letzte Anmerkung: wenn du eine doppelte Nullstelle hast, hast du immer einen Berührpunkt, das ist Definitionssache. Aber wie bereits gesagt, ein Lehrer ist froh, wenn er deinen Rechenweg zu sehen bekommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2012, 16:17

Whisky

Auf diesen Beitrag antworten »

HI,

Wink

ich danke dir sehr für deine super Hilfe! Freude

Freude

Prost

Ich hätte nicht gedacht, dass ich das jemals mit der polynomdivision hinbekomme!

Gruß und noch ein schönen Restsonntag smile

smile

04.11.2012, 18:50

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »