Kompaktheit zeigen (Diagonalfolgen) |
02.11.2012, 15:59 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kompaktheit zeigen (Diagonalfolgen) Moin! Ich soll zeigen, dass kompakt ist. Als Hinweis ist gegeben: Diagonalfolgenargument Meine Ideen: Also ich soll ja sicherlich zeigen, dass jede Folge in eine konvergente Teilfolge besitzt und ich nehme an, dass man dafür ein Diagonalfolgenargument braucht. Das Problem ist, dass ich diesen Begriff gar nicht kenne. Was meint hier: Diagonalfolgenargument? ______________________________________________________________________ Also ich habe mal ein bisschen das Internet "durchforstet" zu dem Thema "Diagonalfolgenargument". Leider finde ich nirgends so richtig erklärt, was das ist. Irgendwie beginnt man wohl damit, eine Folge zu finden, die beschränkt ist. Dann hat diese Folge eine konvergente Teilfolge. Und dann bildet man wieder eine Teilfolge usw. Aber so richtig klar ist mir das - ehrlich gesagt - nun nicht geworden. ________________________________________________________________________ edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt. |
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03.11.2012, 22:01 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm. Das zu erklären, ist gerade etwas schweirig, ohne dir zu viel zu verraten. Der Tipp hätte aber in der Tat etwas konkreter formuliert sein können. Der Begriff "Diagonalfolgenargument" ist eigentlich sehr schwammig und nur dann klar, wenn man derartige Beweise schon häufig geführt hat. Ich versuche stattdessen lieber vielleicht, dich hier direkter schrittweise auf die richtige Fährte zu bringen. Deine Idee ist schon richtig für den Ansatz. Nehme dir mal eine Folge in K her. Was folgt für die einzelnen Komponenten? Also beispielsweise die (Zahlen-)Folge der ersten Folgeglieder, gucken wir uns die speziell an. Was kannst du hier folgern? |
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03.11.2012, 22:05 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst Du eine einzelne Folge in K oder eine Folge von Folgen in K? |
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03.11.2012, 22:10 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meine schon Folgen von Elementen in K, also Folgen von Folgen, ja. Präzisieren wir, was ich eben per Prosa gesagt habe, geben wir uns für beliebige vor. Wir würden gerne zeigen, dass diese einen Häufungspunkt besitzt, bzw. eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in K. Was folgt zunächst für die (Zahlen-)Folge der ersten Folgeglieder ? |
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03.11.2012, 22:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Folge der ersten Folgenglieder ist beschränkt, denn es gilt ja jeweils . Dann gibt es doch den Satz von Bolzano-Weierstraß, der einem (wenn ich das recht im Sinn habe) sagt, dass diese Folge also eine konvergente Teilfolge besitzt. |
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03.11.2012, 22:24 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrekt. Um nicht im weiteren Verlauf des Beweises in Ungenauigkeiten zu verfallen, fixieren wir einen Häufungspunkt dieser Zahlenfolge und merken uns auch die Zahlen durch die die Teilfolge via Einschränkung entstanden ist. Schränken wir jetzt mal gedanklich die ursprüngliche Folge auf diese Zahlen ein. Was kannst du über die Zahlenfolge der zweiten Folgeglieder sagen...? (Es sollte jetzt eine Art Muster erkennbar sein) |
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03.11.2012, 22:28 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine kleine Rückfrage. soll jetzt die Folge der Folgen sein, mit der es losging? Meinst Du, daß man jetzt betrachtet? |
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03.11.2012, 23:01 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, tut mir Leid, da habe ich versehentlich Indices in ihrer Rolle vertauscht. Die Folge der ersten Folgeglieder ist und NICHT . Das, was wir dazu geschrieben haben, stimmt aber unverändert Ich glaube ich sollte langsam mal auf meine Müdigkeit hören und ins Bett gehen... Also du weißt jetzt, dass diese Folge, eingeschränkt auf gewisse konvergiert gegen eine Zahl . Nun betrachte die Folge der zweiten Folgeglieder. Mir ist klar, dass das jetzt nach einer harten Indexschlacht aussieht, aber ich mache das jetzt mehr, um eine korrekte Notation zu wahren. Der Großteil der Indices fällt nach wenigen Argumenten direkt weg. |
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03.11.2012, 23:14 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also die Folge der zweiten Folgenglieder ist dann auch wieder beschränkt und besitzt demnach auch eine konvergente Teilfolge. |
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03.11.2012, 23:19 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wenn du diese Notationen konsequent durchführst, was ergibt sich dann induktiv...? |
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04.11.2012, 00:03 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm. Also man kann es halt immer so weiter führen. In einem nächsten Schritt kann man dann wieder die Folge der dritten Folgenglieder nehmen usw. |
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04.11.2012, 12:01 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ein wenig mehr Einsatz hätte ich dann doch bei der Antwort erwartet, aber was solls...in der Aufgabe ist ja noch immerhin einiges zu zeigen. Ich nehme es dann mal vorweg. Wir führen induktiv dieses Argument fort. Wir schränken die natürlichen Zahlen, für die wir unsere Folge anschauen, immer weiter ein durch Anwendung von Bolzano-Weierstrass, damit immer mehr Komponenten konvergieren. Den Fall haben wir oben behandelt. Sind und die Zahlen bereits definiert, so schränken wir gedanklich auf diese Teilmenge ein und schauen, was passiert. Nach Induktionsvoraussetzung haben wir für alle . Jetzt schauen wir uns wieder die (Zahlen-)Folge der sten Folgeglieder an. Das ist wieder eine beschränkte Zahlenfolge. Diese besitzt nach Bolzano Weierstrass erneut eine Teilfolge mit einem Grenzwert , wenn wir auf gewisse (streng aufsteigende) Zahlen einschränken. So, und jetzt kommt das Diagonalfolgenargument. Ich versuche, das mal ein wenig zu visualisieren. Wenn du dich jetzt irgendwo in der k-ten Zeile befindest, so kannst du die entsprechende Einschränkung von betrachten. "Nach rechts gehen" bewirkt ein Konvergenzverhalten, allerdings nur auf den ersten k Folgegliedern. Die restlichen sind da noch nicht von der Konstruktion berücksichtigt. Je weiter wir jedoch "nach unten" gehen, desto mehr Folgeglieder haben ein Konvergenzverhalten. Es reicht jedoch nicht (egal wie weit unten wir uns befinden), überall ein Konvergenzverhalten zu erwarten, indem wir nur "nach rechts gehen". Die Lösung ist ähnlich dem, was man intuitiv erwarten könnte: Wir gehen nicht nur beschränkt nach unten und dann nur stumpf rechts, sondern diagonal! Tatsächlich kann man sich leicht überlegen, dass die Folge nun punktweise gegen konvergiert. Da wir jedoch Konvergenz in der 2-Norm brauchen, ist das nicht ganz so einfach. Stumpf der Hauptdiagonalen entlang gehen reicht zwar nicht, aber du solltest dir überlegen, ob du geschickt in "diagonaler Richtung" gehen kannst, um Konvergenz in 2-Norm zu kriegen. Ein weiterer Tipp, der dir vielleicht helfen könnte: An einer Stelle hilft eine Summenaufspaltung der Form. Bei der Abschätzung der ersten Summe wird dir die Konstruktion helfen, und bei der Abschätzung der zweiten Summe brauchst du, dass die Folgen tatsächlich in liegen. Mehr sollte ich aber jetzt nicht verraten...viel Erfolg! |
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04.11.2012, 12:26 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Mühe, ich versuche mal, es zu verstehen. Bis jetzt versteh ich leider nur Bahnhof. Nochmal meine Frage, was Du mit meinst. |
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04.11.2012, 13:03 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja.
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04.11.2012, 13:10 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist nicht klar, wieso die Folge, die man aus den Diagonalelementen bildet, punktweise konvergiert. Die Diagonalelemente sind doch Folgenelemente, wie können die konvergieren? |
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04.11.2012, 13:44 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na punktweise... Ich weiß nicht, was für dich dagegen spricht. Ich sage ja nicht, dass das völlig trivial ist, aber das kann man ausrechnen. Wie auch immer, solltest du dich sowieso mehr um -Konvergenz kümmern. |
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04.11.2012, 14:44 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich werde nicht schlau aus dieser Aufgabe, aber ich weiß, dass das an mir liegt und nicht an Deinen Erklärungen, Du hast Dir ja schon die Finger wund geschrieben. Ich werde die Aufgabe wohl auf Eis legen müssen. Ich verliere den Überblick bei diesen ganzen Folgen von Folgen und Teilfolgen und Indizes. |
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