Gleichheit Supremumsnorm/Integral

02.11.2012, 17:18

Uxor

Gleichheit Supremumsnorm/Integral

Sei $\begin{eqnarray*} V=\{x \in C([0,1],\mathbb{R}):x(1)=0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=\{y \in V: \int_0^1y(t)dt=0\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist Y ein abgeschlossener Unterraum von $\begin{eqnarray*} (V,||.||_\infty) \end{eqnarray*}$ .
(Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} C([0,1],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ den Vektorraum der stetigen Funktionen von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .)

Zu zeigen ist:

Für alle $\begin{eqnarray*} x \in V, y \in Y \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ||x-y||_\infty \geq |\int_0^1x(t)dt| \end{eqnarray*}$

Außerdem soll untersucht werden, wann hier Gleichheit gilt.

Erstere Abschätzung lässt sich meines Erachtens relativ leicht über den Mittelwertsatz der Integralrechnung zeigen; mir geht es hauptsächlich um den Fall der Gleichheit. Offensichtlich gilt Gleichheit, wenn x=y ist, aber ich denke mal, diese Feststellung beantwortet die Frage nicht ganz zufriedenstellend, oder? Ich weiß aber nicht, ob für $\begin{eqnarray*} x \neq y, x \in V \end{eqnarray*}$ nicht auch "zufällig" Gleichheit gelten kann. Wie könnte ich das untersuchen/widerlegen?

03.11.2012, 14:04

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich sollte die Aufgabe nicht allzu schwer sein, da es nur 2 Punkte drauf gibt... aber andererseits erscheint mir $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ als "einzige" Lösung irgendwie zu trivial. Kann mich da keiner korrigieren (oder vielleicht sogar bestätigen)? ^^

03.11.2012, 18:11

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich so sehr drängle, aber die Aufgabe hat noch zwei weitere Teile, von denen mindestens einer auf der vorliegenden Teilaufgabe basiert - komme momentan also überhaupt nicht weiter, was etwas frustrierend ist. Daher wäre ich sehr dankbar, wenn jemand so nett wäre, mir zu helfen smile

03.11.2012, 20:21

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du fürs Zeigen der Ungleichung ein -y(t) ins Integral eingefügt?
Ich komme dann darauf, dass für Gleichheit x(t)-y(t) eine konstante Funktion sein muss, also x(t) und y(t) sich nur durch eine Konstante unterscheiden dürfen

04.11.2012, 15:01

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bekommt man das über den MWS raus?

Naja, aber wenn x(t)-y(t) konstant ist, dann muss es ja konstant =0 sein, denn x(1)-y(1)=0 aufgrund der Wahl von x und y, oder? Also folgt x=y (?)

04.11.2012, 15:38

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Uxor
Naja, aber wenn x(t)-y(t) konstant ist, dann muss es ja konstant =0 sein, denn x(1)-y(1)=0 aufgrund der Wahl von x und y, oder? Also folgt x=y (?)

Ja stimmt, habe übersehen, dass an y(t) auch die Bedingung y(1)=0 gestellt wird.

Schreib doch mal auf, wie du das mit dem Mittelwertsatz machen würdest. Ich würde es jedenfalls so machen:

$\begin{eqnarray*} |\int_0^1x(t)dt| = |\int_0^1x(t)-y(t)dt| \leq \int_0^1|x(t)-y(t)|dt \leq \int_0^1max|x(t)-y(t)|dt \end{eqnarray*}$

Beim ersten Kleinergleich darf für Gleichheit x(t)-y(t) für t aus [0,1] nicht das Vorzeichen wechseln, beim zweiten Kleinergleich gilt Gleichheit wenn
x(t)-y(t) konstant ist (max wieder für t aus [0,1]) und nun ist der letzte Ausdruck gerade die Unendlichnorm.

04.11.2012, 15:46

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit MWS:

$\begin{eqnarray*} |\int_0^1x(t)dt|=|\int_0^1(x(t)-y(t))dt|=|x(\lambda)-y(\lambda)| \leq sup|x(t)-y(t)|=||x-y||_\infty \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist natürlich insofern unpraktischer, als sie die von dir beschriebene Abschätzung nicht liefert, weswegen ich damit auch nicht zum Ziel gekommen bin.

Jedenfalls heißt das nun, dass x=y äquivalent zur Gleichheit ist, richtig?

04.11.2012, 22:17

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Jedenfalls heißt das nun, dass x=y äquivalent zur Gleichheit ist, richtig?

Wenn du mit meiner Lösung einverstanden bist, ja Augenzwinkern

Denn aus dem zweiten Kleinergleichzeichen folgt doch für alle t aus [0,1]

$\begin{eqnarray*} |x(t)-y(t)| = max_{t \in [0,1]}|x(t)-y(t)| \end{eqnarray*}$

, da x(t)-y(t) wegen dessen Stetigkeit keine Sprünge machen darf (die würden ansonsten den Integralwert ja nicht verändern)
Und wegen gleichem Funktionswert in t=1 folgt x=y.

04.11.2012, 23:33

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, doch, sehe ich auch so. Danke für die Hilfe! smile

05.11.2012, 17:41

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nun noch ein weiteres Problem mit der nächsten Teilaufgabe. Sie lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

[latex]|\int_0^1x(t)dt|=inf\{||x-y||_\infty:y \in Y\}

Ich habe versucht, das ganze über die Definition des Infimums als größte untere Schranke der gegebenen Menge zu zeigen, bin damit allerdings nicht wirklich voran gekommen. Hätte vielleicht jemand einen besseren Ansatz? smile

05.11.2012, 17:43

Uxor

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, Entschuldigung, ich hab vergessen, den latex-Code zuzumachen. Hier nochmal richtig:
$\begin{eqnarray*} |\int_0^1x(t)dt|=inf\{||x-y||_\infty:y \in Y\} \end{eqnarray*}$

(ggf. könnte ein Mod das ja noch in meinen Beitrag einfügen und dann diesen hier löschen ^^)

Neue Frage »

Antworten »

Gleichheit Supremumsnorm/Integral

Verwandte Themen