Konstanten wählen, damit Grenzwert existiert

02.11.2012, 17:21	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstanten wählen, damit Grenzwert existiert Die Angabe lautet: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - \sqrt{x^2+Ax+B}}{\sin^{2}(x)} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} A, B \in \mathbb R \end{eqnarray}$ so, dass der obige Grenzwert existiert und berechnen Sie diesen. Mir ist klar, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} (\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - \sqrt{x^2+Ax+B}) = 0 \end{eqnarray}$ sein muss, damit der gesamte obige Grenzwert existiert. Differenz, Wurzel, Produkt und Potenz von Funktionen sind stetig, also müsste ich einfach $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ einsetzen können. Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} 1 - \sqrt{B} = 0 \Rightarrow B = 1 \end{eqnarray}$ Und weil $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ herausfällt, dachte ich mir, es sei beliebig. Wenn ich aber zum Beispiel $\begin{eqnarray} A = 1 \end{eqnarray}$ wähle, existiert laut WolframAlpha der obige Grenzwert nicht. Was mache ich falsch?
02.11.2012, 18:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Unterschied zwischen "hinreichend" und "notwendig". Damit der Grenzwert (eigentlich) existiert, muß der Zähler bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ Null werden. Das ist notwendig. Es ist aber nicht hinreichend. Primitives Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ gehen Zähler und Nenner gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , der Ausdruck wird jedoch dem Betrage nach unendlich groß. Der Nenner $\begin{eqnarray} v(x) = \sin^2 x \end{eqnarray}$ hat bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ eine Nullstelle der Ordnung 2 (denn sowohl $\begin{eqnarray} v(x) \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} v'(x) \end{eqnarray}$ werden dort Null). Daher muß auch der Zähler eine Nullstelle mindestens der Ordnung 2 besitzen. Das ist dann auch hinreichend dafür, daß der Grenzwert existiert.
02.11.2012, 18:43	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das wusste ich nicht. Also muss die erste Ableitung des Zählers ebenfalls Null ergeben, oder?
06.11.2012, 14:35	Babbel15	Auf diesen Beitrag antworten »
bin bei der selben aufgabe und habe für A=3 und für B=1 gewählt. Stimmt das?
06.11.2012, 14:41	Babbel15	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kann ich, falls es stimmt nun den Grenzwert berechnen?
06.11.2012, 14:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Allerdings solltest du natürlich auch begründen, warum es dafür klappt und für andere nicht. P.S.: Ich sehe gerade deinen anderen Thread zu dem Thema. Dort hat dir Bronco Bamma doch schon wichtige Hinweise gegeben, hast du die befolgt?
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06.11.2012, 15:11	Babbel15	Auf diesen Beitrag antworten »
habe b=1 errechnet und dann in die formel b mit 1 ersetzt und dadurch für A = 3 herausbekommen. Bin auch davon ausgegangen, dass man A frei wählen kann, jedoch scheint dies nicht so zu sein. Eine Erklärung dafür hab ich auch nicht

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