Lineare Unabh. - Abbildung

02.11.2012, 18:45	mbbm	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabh. - Abbildung Hallo, ich brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe: Wir betrachten alle Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}: f_a= 0 \text{ falls } x<a ; x \text{ falls } x\geq a \end{eqnarray}$ Zeige jedes Tupel $\begin{eqnarray} (f_{a_1},\dots,f_{a_n}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1<\dots<a_n \end{eqnarray}$ ist linear unabhängig. Bei meiner Lösung hat sich ein Fehler eingschlichen, da ich auf das Ergebnis komme, dass sie linear abhängig sind. Hier mein Lösungsweg: 1. Fall $\begin{eqnarray} x<a_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=\sum\limits_{i=1}^n c_i f_{a_1}=\sum\limits_{i=1}^n c_i f_{a_1}(x)=\sum\limits_{i=1}^n c_i 0 \end{eqnarray}$ Somit können meine Koeffizienten beliebig sein und ich erhalte immer Null, also keine triviale Darstellung. Also diesen Fall glaube ich habe ich richtig gelöst. 2. Fall $\begin{eqnarray} x>a_i: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=\sum\limits_{i=1}^n c_i f_{a_1}=\sum\limits_{i=1}^n c_i f_{a_1}(x)=\sum\limits_{i=1}^n c_i x=x\sum\limits_{i=1}^n c_i \end{eqnarray}$ Das ist Null, wenn x=0 oder die Summe meiner Koeffizenten gleich null ist und nun ist es offensichtlich, dass hier eine nichttriviale Darstellung existiert. Wenn ich z. B. $\begin{eqnarray} c_1=2\text{, }c_2=-2 \end{eqnarray}$ setze und die restlichen Koeffizienten Null setze, habe ich eine nichttriviale Darstellung. Das dürfte aber eig. nicht der Fall sein. Mein Problem ist, dass ich das ganze Punktweise betrachte und deshalb für f(x) einfach x einsetze und somit habe ich überall das gleiche stehen, aber die Werte vor meinem x unterscheiden sich doch bei den Abbildungen. Wahrscheinlich muss ich die Vorraussetzung, dass $\begin{eqnarray} a_1<\dots<a_n \end{eqnarray}$ verwenden, damit ich dieses Problem löse, aber ich komme nicht drauf wie ich das machen soll. Wäre sehr dankbar, wenn mir hierbei jemand helfen würde. (Bitte nicht einfach den Lösungsweg angeben, sondern nur einen Tipp) mfg PS: Mir wurde bereits gesagt, dass man das auch mittels Induktion beweisen kann, aber es muss doch auch eine Möglichkeit geben, dass auf meine Art zu lösen oder?
02.11.2012, 18:51	mbbm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabh. - Abbildung Sry Doppelpost

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