Metrische Räume - Offene Kugel

03.11.2012, 09:26	ann4	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrische Räume - Offene Kugel Meine Frage: Hallo, wir haben mit metrischen Räumen begonnen und dazu einige Beispiele zur offenen Kugel gemacht. Ich kann diese nicht ganz nachvollziehen. Dies ist ja die offene Kugel mit dem Zentrum x. $\begin{eqnarray} B_{r} (x): = \left\{ y \in X: d(x,y) < r \right\} \end{eqnarray}$ Nun die Beispiele im R2. Dies soll ein Quadrat ergeben. Wieso? $\begin{eqnarray} d(x,y)=max{\|x^{1} -y^{1} \|,\|x^{2} -y^{2} \|} = \mathbb R \end{eqnarray}$ oder dieses hier $\begin{eqnarray} d(x,y)=\|x^{1}-y^{1}\|+\|x^{2}-y^{2}\| \end{eqnarray}$ Ist eine Raute. Kann mir jemand erklären wie diese "muster" zustande kommen? Meine Ideen: Ehrlichgesagt bin ich etwas ratlos. Ich weiß dass der Radius mit 1 angegeben ist und ich nun ale x,y mit einem Abstand kleiner als 1 finden soll?
03.11.2012, 10:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist sehr irritierend, wenn du die Indizes für die Koordinaten oben anbringst. Beim ersten Darüberlesen habe ich diese für Potenzen gehalten. Man darf so etwas schon machen, sollte diese Bezeichnung aber für andere zumindest kurz erklären. Nehmen wir einmal die zweite Metrik: $\begin{eqnarray} d(x,y) = \left\| x_1 - y_1 \right\| + \left\| x_2 - y_2 \right\| \end{eqnarray}$ Fange mit dem Ursprung als Mittelpunkt an: $\begin{eqnarray} B_1(0) = \left\{ \, \left( y_1,y_2 \right) \, \left\| \ \ \left\| y_1 \right\| + \left\| y_2 \right\| \leq 1 \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ an. Zeichne ein Koordinatensystem, wo $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ nach rechts und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ nach oben abgetragen wird. Man erkennt sofort, daß die Ungleichung $\begin{eqnarray} \left\| y_1 \right\| + \left\| y_2 \right\| \leq 1 \end{eqnarray}$ unempfindlich gegen Vorzeichenänderungen bei $\begin{eqnarray} y_1,y_2 \end{eqnarray}$ ist. Das bedeutet: Wenn du irgendein Zahlenpaar hast, das die Ungleichung erfüllt, erfüllen auch die drei Zahlenpaare die Ungleichung, die du erhältst, wenn du bei einem der $\begin{eqnarray} y_1,y_2 \end{eqnarray}$ oder bei beiden die Vorzeichen änderst. Eine Vorzeichenänderung etwa nur bei $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ bedeutet aber eine Spiegelung an der $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ -Achse. Und so erkennt man: $\begin{eqnarray} B_r(0) \end{eqnarray}$ liegt symmetrisch zur $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ -Achse und zur $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ -Achse (mithin also auch punktsymmetrisch zum Ursprung). Damit genügt es, wenn du die Ungleichung nur im I. Quadranten löst und den Lösungsbereich dort an den Koordinatenachsen spiegelst. Der Vorteil ist, daß im I. Quadranten $\begin{eqnarray} y_1,y_2 \geq 0 \end{eqnarray}$ sind, so daß die Betragsstriche entfallen. Du mußt daher nur noch $\begin{eqnarray} y_1 + y_2 \leq 1 \ \ \text{mit} \ \ y_1,y_2 \geq 0 \end{eqnarray}$ lösen. Hier empfiehlt es sich, zuerst die Punkte mit $\begin{eqnarray} y_1 + y_2 = 1 \end{eqnarray}$ zu zeichnen. Was das gibt, solltest du aus der Mittelstufe der Schule kennen ( $\begin{eqnarray} x+y=1 \end{eqnarray}$ ). Danach geht man zu $\begin{eqnarray} y_1 + y_2 \leq 1 \end{eqnarray}$ über.

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