Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem

03.11.2012, 10:49

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem

Meine Frage:
Ich möchte eine Treffererkennung für Luftgewehre mit akustischen Sensoren auf einer Platte bauen.
Die Idee ist mit 4 Sensoren die Laufzeiten der Schallsignale zu messen und aus diesen unterschiedlichen Laufzeiten die X- und y-Koordinate des Treffers zu berechnen. Die grün dargestellten Vektoren der Zeichnung sind messbar, die beiden roten Vektoren möchte ich berechnen.

Aus der Grafik ergeben sich also nach Pythagoras folgende Gleichungen:
x² + y² = r0²
(w-x)² + y² = (r0+r3)²
x² + y² = r0²
x² + (h-y)² = (r0+r1)²
(w-x)² + (h-y)² = (r0+r2)²

Meine Ideen:
Ich habe schon verscuht mit Strahlensatz oder Pythagoras das Gleichungssystem nach X und Y aufzulösen, bin aber nicht weitergekommen.

edit von sulo: Habe sämtliche ^{2} durch ² ersetzt um die Lesbarkeit zu verbessern.

03.11.2012, 14:08

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Du hast 4 Gleichungen und 3 Unbekannte (r1, r2 und r3 sind ja bekannt), das lässt sich schon lösen.

Ich werde in ca. einer halben Stunde Zeit genug haben, das mal durchzurechnen.

smile

smile

03.11.2012, 14:21

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Hm, ich seh da jetzt eigentlich nur 2 Gleichungen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{wy}2=A_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r_0^2 \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ die Fläche des Dreiecks mit der Grundlinie der Länge w und mit der Höhe der Länge y, welche man natürlich vorher berechnen muss (=Rechtecksfläche minus Fläche der anderen Dreiecke)...

03.11.2012, 15:37

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
4 Gleichungen und 3 Unbekannte sind lösbar, das hab ich auch gedacht und bin schon einige Male gnadenlos gescheitert oder hab mich verrechnet.
Bin deshalb schon fast am verzweifeln...

Viele Grüße
Wolfgang

03.11.2012, 15:39

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Ist das eigentlich eine Anfrage mit einer Aufgabenstellung aus dem Hochschulbereich? Oder baust du diese Anlage beruflich?

Weiterhin wäre es schon sehr schön, wenn du uns an deinen Rechnungen teilhaben lassen würdest.

03.11.2012, 18:04

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Nein, die Anlage, die ich damit realisieren will ist hobbymäßig.
Ich poste morgen mal meine bisherigen Rechenversuche

Anzeige

03.11.2012, 18:28

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Ich habe inzwischen x in Abhängigkeit von r0 und r3 sowie y in Abhängigkeit von r0 und r1 dargestellt.
Wenn man beides in Gl IV einsetzt, kann man r0 in Abhängigkeit der anderen bekannten Vektoren darstellen, also ermitteln.
Anschließend können x und y errechnet werden.

Bin gespannt auf deine Rechnungen.

smile

smile

04.11.2012, 08:15

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Also nach X und Y aufgelöst habe ich:

$\begin{eqnarray*} x=((ro+r3)^{2}-w^{2}-ro^{2}) / -2w \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y=((ro+r1)^{2}-h^{2}-ro^{2}) / -2h \end{eqnarray*}$

aber Proberechnungen haben ergeben, dass die 2 Gleichungen so nicht stimmen können.

Für X hergeleitet hab ich's so:

$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2}=ro^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (w-x)^{2}+y^{2}=(ro+r3)^{2} \end{eqnarray*}$
nun wird $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ ersetzt durch die erste Gleichung

$\begin{eqnarray*} (w-x)^{2}+ro^{2}-x^{2}=(ro+r3)^{2} \end{eqnarray*}$

Binomische Formel anwenden:
$\begin{eqnarray*} w^{2}-2wx+x^{2}+r0^{2}-x^{2}=(ro+r3)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^{2}-2wx+r0^{2}=(ro+r3)^{2} \end{eqnarray*}$

nach x umformen:
$\begin{eqnarray*} x=((r0+r3)^{2}-w^{2}-r0^{2}) / -2w \end{eqnarray*}$

Mit Beispielwerten kommt Blödsinn raus, also wo mach ich den Fehler?

04.11.2012, 09:43

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Oops,

hab's grad nochmal nachgerechnet und die Auflösung nach X und Y stimmt ja doch :-)

Aber wie komm ich nun weiter?
Ich hab jetzt 3 Glechungen:
$\begin{eqnarray*} x=((r0+r3)^{2}-w^{2}-r0^{2})/ -2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=((r0+r1)^{2}-h^{2}-r0^{2}) / -2h \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (r0+r2)^{2}=(w-x)^{2}+(h-y)^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun in die 3. Gleichung X und Y einsetze wird's richtig hässlich und meine bescheidenen Restkenntnisse vom Mathe-Leistungskurs von vor 29 Jahren reichen nicht mehr aus...

04.11.2012, 12:46

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Also man kann die ersten beiden Gleichungen noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} x=(r3^{2}+2r0r3-w^{2}) / 2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(r1^{2}+2r0r1-h^{2}) / 2h \end{eqnarray*}$
und dazu die 3. Gleichung
$\begin{eqnarray*} (r0+r2)^{2}=(w-x)^{2}+(h-y)^{2} \end{eqnarray*}$

Damit bin ich aber immer noch nicht weiter

04.11.2012, 13:59

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Ok, hab jetzt folgendes probiert:

die 3. Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (r0+r2)^{2} = (w-x)^{2}+(h-y)^{2} \end{eqnarray*}$

die Binome ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} r0^{2}+2r0r2+r2^{2} = w^{2}-2wx+x^{2}+h^{2}+2hy-y^{2} \end{eqnarray*}$

dann setze ich für $\begin{eqnarray*} r0^{2} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$ ein
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+r2^{2}+2r0r2 = w^{2}+x^{2}-2wx+h^{2}+y^{2}-2hy \end{eqnarray*}$

dann kürzen wir mal
$\begin{eqnarray*} 2r0r2 = w^{2}+h^{2}-r2^{2}-2wx-2hy \end{eqnarray*}$

nun setzen wir für x und y die Gleichungen von oben ein
$\begin{eqnarray*} 2r0r2 = w^{2}+h^{2}-r2^{2}-2w((r3^{2}+2r0r3-w^{2}) / 2w) -2h((r1^{2}+2r0r1-h^{2})/2h) \end{eqnarray*}$

nach dem kürzen sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} 2r0r2+2r0r1+2r0r3 = 2h^{2}-r2^{2}+2w^{2}-r3^{2}-r1^{2} \end{eqnarray*}$

nun folgt für r0:
$\begin{eqnarray*} r0 = (2w^{2}+2h^{2}-r1^{2}-r2^{2}-r3^{2}) / 2 (r1+r2+r3) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun mein r0 in die beiden Gleichungen für x und y einsetze sehe ich aber, dass ich irgendwo einen Rechenfehler hatte

04.11.2012, 16:26

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem

Zitat:

Original von MunichMan
Also man kann die ersten beiden Gleichungen noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} x=(r3^{2}+2r0r3-w^{2}) / 2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(r1^{2}+2r0r1-h^{2}) / 2h \end{eqnarray*}$
Damit bin ich aber immer noch nicht weiter

Vorher waren sie noch richtig, beim Vereinfachen müssen dir dann Vorzeichenfehler unterlaufen sein. Da solltest du noch mal schauen.

Hier noch Tipps zum Schreiben mit Latex:
Solange du nur ein Zeichen in der Potenz hast, brauchst du keine geschweiften Klammern zu setzen.
Du kannst ein Zeichen tieferstellen, wenn du dieses Strich schreibst: _

Mein Weg zum Errechnen von r0 war ein anderer, ich werde deinen demnächst kontrollieren.

04.11.2012, 17:02

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem

Zitat:

Original von sulo

Zitat:

Original von MunichMan
Also man kann die ersten beiden Gleichungen noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} x=(r3^{2}+2r0r3-w^{2}) / 2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(r1^{2}+2r0r1-h^{2}) / 2h \end{eqnarray*}$
Damit bin ich aber immer noch nicht weiter

Vorher waren sie noch richtig, beim Vereinfachen müssen dir dann Vorzeichenfehler unterlaufen sein. Da solltest du noch mal schauen.

Hier noch Tipps zum Schreiben mit Latex:
Solange du nur ein Zeichen in der Potenz hast, brauchst du keine geschweiften Klammern zu setzen.
Du kannst ein Zeichen tieferstellen, wenn du dieses Strich schreibst: _

Mein Weg zum Errechnen von r0 war ein anderer, ich werde deinen demnächst kontrollieren.

Stimmt, da hab ich einen Fehler gemacht.
So sollte es richtig sein:
$\begin{eqnarray*} x=(w^{2}-2r0r3-r3^{2}) / 2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(h^{2}-2r0r1-r1^{2}) / 2h \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 17:07

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Ja, das sind die richtigen Vereinfachungen für x und y. Freude

Freude

Die weiteren Rechnungen sind in der Tat etwas aufwendiger, ich versuche gerade die einfachste herauszufinden.

Eventuell kannst du aber auch noch mal deine neuen x- und y-Darstellungen in deine Gleichung für r0 einsetzen und schauen, ob die Gleichung schon stimmt.

04.11.2012, 17:34

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Also nach 3-maligem Nachrechnen komm ich für $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ auf folgende Gleichung

$\begin{eqnarray*} r_0 = (r_1 ^{2} + r_3^{2} - r_2^{2}) / 2(r_2-r_1-r_3) \end{eqnarray*}$
aber wenn ich's mit Beispielwerten rechne stimmt es eben doch nicht
Hab ich bei meiner Berechnung von $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ noch einen Fehler oder stimmt x/y doch noch nicht?

04.11.2012, 17:50

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
x und y sollten richtig sein, das haben wir unabhängig voneinander berechnet.

Meine Darstellung für x0 ist wesentlich aufwändiger:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 600^2-r_0(r_1+r_3)+\frac{r_0^2}{1200^2}(r_1^2+r_3^2) +\frac{r_0}{1200^2}(r_1^3+r_3^3)- \frac{r_1^2+r_3^2}{2} + \frac{r_1^4+r_3^4}{2400^2}= r_0^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, ich habe keinen Tippfehler drin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hatte x und y in Gl 1 eingesetzt.
edit: Statt w und h habe ich die Zahlen verwendet.

05.11.2012, 08:44

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Meine Berechnung nfür $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} (r_0+r_2)^{2} = (w-x)^{2}+(h-y)^{2} \end{eqnarray*}$

Binome ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} r_0^{2} + 2r_0r_2 + r_w^{2} = w^{2} - 2wx + x^{2} + h^{2} -2hy + y^{2} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} r_0^{2} \end{eqnarray*}$ setze ich nun $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} \end{eqnarray*}$ ein
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} +2r_0r_2 + r_2^{2} = w^{2} - 2wx + x^{2} - 2hy + y^{2} \end{eqnarray*}$
oder gekürzt
$\begin{eqnarray*} 2r_0r_2 + r_2^{2} = w^{2} + h^{2} -2wx -2hy \end{eqnarray*}$

Für x und y setze ich nun $\begin{eqnarray*} (w^{2} - 2r_0r_3 - r_0^{2}) / 2w \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} (h^{2}-2r_0r_1 - r_1^{2}) / 2h \end{eqnarray*}$ ein.
Ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} 2r_0r_2 + r_2^{2} = w^{2} + h^{2} - (w^{2} - 2r_0r_3 - r_0^{2}) - (h^{2} - 2r_0r_1 - r_1^{2}) \end{eqnarray*}$

gekürzt gibt das
$\begin{eqnarray*} 2r_0r_2 + r_2^{2} = 2r_0r_3 + r_3^{2} + 2r_0r_1 + r_1^{2} \end{eqnarray*}$

Umgeformt wird daraus
$\begin{eqnarray*} r_0=(r_3^{2}+r_1^{2}-r_2^{2}) / 2*(r_2-r_3- r_1) \end{eqnarray*}$

Leider stimmt es aber nicht, wenn ich's mit Beispielwerten durchrechne

05.11.2012, 09:08

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Hmm, ich habe genau das Gleiche rausbekommen.

Ich werde die Umformung heute noch einmal machen, momentan sehe ich nicht, wo da ein Fehler stecken könnte. verwirrt

verwirrt

Daher werde ich die Gleichungen auch erst einmal durch Einsetzen von Zahlenwerten überprüfen.

05.11.2012, 12:28

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
So, nun habe ich mal wie folgt eingesetzt:

x = 40
y = 30
r0 = 50

Dann erhalte ich an positiven Ergebnissen (die negativen ignoriere ich):
Aus Gl III: r1 = 1120,683561
Aus Gl IV: r2 = 1597,5739741
Aus Gl I: r3 = 1110,3878662

Wenn ich nun diese drei letzten Werte in unsere Gleichung für r0 einsetze, gibt mir der TR als Lösung: 50,00000009.

Was will man mehr? smile

smile

05.11.2012, 16:04

MunichMan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Ok,
das Problem sass mal wieder vor dem Bildschirm oder über dem Blatt Papier...

Bei meinen Beispielrechnungen hatte ich als Länge für $\begin{eqnarray*} r_1, r_2, r_3 \end{eqnarray*}$ jeweils die gesamte Hypothenuse genommen und vergessen $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ vorher abzuziehen...

Jetzt kalppt alles wunderbar.

Vielen, vielen Dank
Wolfgang

PS: Wenn du mal nach Bayern kommst geb ich dir einen Tee aus :-)

05.11.2012, 17:56

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt berechnen mit Gleichungssystem
Freut mich, wenn nun alles stimmt. Freude

Freude

Auf den Tee komme ich bei Gelegenheit zurück. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »