Stetige bzw. unstetige Funktionen

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03.11.2012, 11:30	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige bzw. unstetige Funktionen Hallo, allerseits =) Ich habe momentan auf der Uni das Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen und soll u.a. bei zwei Funktionen argumentieren, ob sie stetig sind und wo. Zunächst einmal musste ich aber erklären, was Stetigkeit in einem Punkt bedeutet und habe mich an Wikipedia gehalten: Die Funktion f ist in einem Punkt a stetig, wenn es zu jeder Umgebung V seines Bildpunktes f(a) eine Umgebung U von a gibt, die durch ganz in die Umgebung V abgebildet wird. Eine andere Definition, ist eben auch, dass der links- und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion gleich sind. Meine erste Funktion ist nun: f(x) = x^2 für x<1 2 für x=1 1/(2-x) für x>1 Sie ist für 2 nicht definiert, aber sonst würde ich sagen, dass sie stetig ist. Mein Problem ist nur, ich kann nicht erklären, warum.. Wie gehe ich an die Sache am besten ran? Meine zweite Funktion ist: f(x) = sgn ((x-1)(x+1)(x+3)) Ich hab diese Funktion mal bei Wolframalpha eingegeben, aber da kam etwas komisches raus.. Diese Klammern sind doch einfach die Linearfaktoren der Funktion, demnach müssten 1, -1 und -3 Nullstellen sein, aber wie kann das sein? Wäre euch echt verbunden, könntet ihr mir helfen, das Rätsel zu lösen.
03.11.2012, 11:49	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige bzw. unstetige Funktionen Hi, eine Funktion ist punktstetig wenn $\begin{eqnarray} l\lim_{x\to x_0}f(x)=r\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{eqnarray}$ gilt. Das heißt, du setzt erstmal deine Funktion ein und untersuchst erst den linksseitigen Grenzwert und dann den rechtsseitigen Grenzwert. Wenn beide gleich sind und mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen, dann ist die Funktion in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ stetig.
03.11.2012, 11:56	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige bzw. unstetige Funktionen Die Frage hört sich jetzt vl blöd ab, aber.. ich kenne ja $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ nicht. Oder mache ich das ganz allgemein? In diesem Falle.. erm.. rechne ich den Limes von $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ aus, dann den von 2 und dann den von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2-x} \end{eqnarray}$ ?
03.11.2012, 12:14	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige bzw. unstetige Funktionen Wenn du die Funktion in einen Punkt auf Stetigkeit prüfen willst, brauchst du natürlich auch einen Punkt.
03.11.2012, 12:15	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige bzw. unstetige Funktionen Ok.. ^^ und wie komme ich auf den Punkt?
03.11.2012, 12:24	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige bzw. unstetige Funktionen Ich denke mal du meinst folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{x<1 } \\ 2, & \mbox{x=1 } \\\frac{1}{2-x} ,& \mbox{x>1 }\end{cases} \end{eqnarray}$ Hmm... das kleiner und größer Zeichen wird irgendwie nicht angezeigt... Nun gut, wenn das nun die Funktion ist? Schaust du dir den linksseitigen Grenzwert zuerst an. Also den Fall $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ Danach den rechtsseitigen $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ und zuletzt den Fall $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$
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04.11.2012, 13:33	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige bzw. unstetige Funktionen Oooooook.. aber ich habe ja schon fixe Vorgaben, wie die Funktion sich verhält, wenn x<1 usw.. Wie gehe ich das an? Ich bin wohl echt ein hoffnungsloser Fall -.-
04.11.2012, 15:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Cheftheoretiker nicht mehr antwortet: Du hast eine abschnittsweise definierte Funktion. Zuerst mal die Frage, ob die Aufgabenstellung korrekt ist, auf welcher Menge ist die Funktion definiert? Du hast ja selber schon gesagt, dass es da für x=2 ein Problem gibt. Wenn das geklärt ist: auf den jeweiligen Abschnitten ist die Funktion jeweils stetig, da sie aus Verkettungen stetiger Funktion besteht, d.h. etwa dass die Funktion in allen $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ schon stetig ist, da $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig ist, also natürlich auch für alle $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ . Problematisch sind daher nur die Stellen, wo verschiedene Abschnitte aneinander stoßen, sich die Funktionsvorschrift also ändert. Davon gibt es bei der ersten Funktion 3, welche sind das?
04.11.2012, 16:10	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also bei x=1, dann bei x>1 und bei x=2. Ist das so richtig?
04.11.2012, 16:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte eigentlich auf die 3 Funktionsvorschriften raus. Es gibt 3 Funktionsvorschriften, diese stoßen an insgesamt 1 Stelle zusammen. Alle diese Änderungen spielen sich in $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ab (die 2 lassen wir erstmal außen vor, da steht auch noch die Frage nach der Aufgabenstellung und dem vorgegebenen Definitionsbereich bzw. dem genauen Wortlaut aus). Damit hast du den einzigen Punkt, wo du noch auf Stetigkeit überprüfen musst.
04.11.2012, 16:25	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, achso^^ Naja, ich könnte, um die Stetigkeit bei 1 zu überprüfen und links- und den rechtsseitigen Grenzwert ausrechen, oder? Ich bin mir nur nicht ganz sicher, wie ich das bei so einer Angabe machen soll. Soll ich für die einzelnen Teile den Grenzwert berechnen? Also z.B. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \mp 1} x^{2} \end{eqnarray}$ ?
04.11.2012, 16:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Links- und rechtsseitiger Grenzwert klingt gut, allerdings kann ich deine Grenzwertbestimmung nicht ganz nachvollziehen. Wichtig hierbei ist: beim linksseitigen Grenzwert näherst du dich von unten an die 1 an, d.h. bei $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow 1} f(x) \end{eqnarray}$ kannst du genau sagen, welche Funktionsvorschrift du verwenden musst.
04.11.2012, 16:46	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, hab kurz falsch gedacht. Das $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ ist falsch? Oder rechne ich schon so: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} x^{2} \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{1}{2-x} \end{eqnarray}$ Beim ersten kommt 1 raus, beim zweiten auch, also ist die Funktion in diesem Punkt stetig?
04.11.2012, 16:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du jetzt genau unterscheiden, welchen Grenzwert du da betrachtest, sprichst du vom links- oder vom rechtsseitigen Grenzwert? Und die Gleichheit der Grenzwerte allein reicht noch nicht ganz aus, zusätzlich muss der Funktionswert an dieser Stelle auch noch übereinstimmen, also $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow 1} f(x) =f(1)=\lim\limits_{x\downarrow 1} f(x) \end{eqnarray}$ .
04.11.2012, 16:53	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also wenn ich den rechtsseitigen Grenzwert berechne, das ist bei mir der zweite, worauf muss ich da achten oder wie signalisiere ich, dass es eben der rechtsseitige ist? Lasse ich die Funktion da bis -1 gehen? Und wenn ich das habe, dann stimmen die Grenzwerte aber nicht mit dem Funktionswert überein.
04.11.2012, 16:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum willst du beim rechtsseitigen die Funktion bei -1 betrachten? , Es gibt mehrere Möglichkeiten das anzugeben, $\begin{eqnarray} \operatorname{l-lim}\limits_{x\to 1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to 1^-} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\uparrow 1} \end{eqnarray}$ für den linksseitigen Grenzwert sind die gängigsten Schreibweisen.
04.11.2012, 17:55	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist es ein rein formales Problem und mein linksseitiger Grenzwert IST 1? Unstetig ist es jetzt aber eben, weil die zwei Grenzwerte nicht dem Funktionswert entsprechen?
04.11.2012, 17:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso ist es. Wie ihr den linksseitigen Grenzwert formal korrekt aufschreibt, solltet ihr irgendwo bei euch im Skript stehen haben. Diese Notation solltest du dann zunächst auch verwenden.
04.11.2012, 18:05	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, leider nein, unser Skript ist da nicht sehr aufschlussreich, sonst müsste ich nicht so oft hier sturmfragen ^^ Gut, also diesen Schritt habe ich gemacht und sehe, dass die Funktion bei x=1 unstetig ist. Davor aber schon, wie du gesagt hast. Und jetzt überlege ich mir was bei x=2 los ist?
04.11.2012, 18:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt kommt noch x=2 dran. Du hast schon gesagt, dass die Funktion dort nicht definiert ist. Was bedeutet das dann für die Stetigkeit?
04.11.2012, 18:19	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm.. bei der Stetigkeit geht es ja sehr um Funktionswerte und so, also denke ich, dass die Funktion an diesem Punkt eben nicht stetig ist.
04.11.2012, 18:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Anders formuliert: damit eine Funktion in einer Stelle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ stetig sein kann, muss sie dort zuerst einmal definiert sein. Das ist hier aber nunmal nicht der Fall.
04.11.2012, 18:48	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, damit hätte ich alles, was ich für das erste Bsp brauche =) danke! Wie ist das eigentlich bei der Signum-Funktion? Wie zeichne ich beim Graphen diese Nullstellen ein?
04.11.2012, 18:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist die Signumfunktion denn definiert? Wo könnte es hier Probleme mit der Stetigkeit geben?
04.11.2012, 19:04	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Soooo.. sgn(x) = 1 für x>0, 0 für x=0 und -1 für x<0 Jetzt würde ich mir denken, dadurch, dass ich hier Nullstellen gegeben habe bei x=1, x=-1 und x=-3, dass dort die Funktionswerte auch 0 sind. Und eben hier muss ich mir dann wohl auch die Stetigkeit überlegen, weil sie sonst ja nicht so problematisch ist, bis eben auf die Stellen, wo ein Sprung ist. Richtig soweit?
04.11.2012, 19:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, wenn das Argument der Signumfunktion den Wert 0 annimmt, macht sie einen Sprung, ansonsten ist sie stetig.
04.11.2012, 19:08	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt ich sage, sie ist stetig bis auf die Punkte 1, -1 und 3?
04.11.2012, 19:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du noch die Stetigkeit von Polynom und Verkettungen stetiger Funktionen reinbringst, könnte man das sagen. Edit: Wobei...wie kommst du auf 3?
04.11.2012, 19:14	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
-3 meine ich Wie könnte ich das denn reinbringen? (Danke vielmals für die Geduld btw!!)
04.11.2012, 19:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Polynome sind stetig, die Signumfunktion ist für alle $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ stetig, die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig, somit ist $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn}((x-1)(x+1)(x+3)) \end{eqnarray}$ schonmal überall da stetig, wo $\begin{eqnarray} (x-1)(x+1)(x+3)\neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Die 3 Stellen wo das passiert, kannst du dann wie in der ersten Aufgabe mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert nachprüfen.
04.11.2012, 19:23	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok ^^ Na gut, ich denke, ich habs jetzt verstanden! Danke, danke, danke für die Hilfe!!!

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