Cauchysche Integralformel für die Kreisscheibe

03.11.2012, 12:49

KnowingLizard

Cauchysche Integralformel für die Kreisscheibe

Hallo,
zuerst einmal die Aufgabe, an der ich im Moment sitze, im Wortlaut:

Zitat:

Definiere f mit $\begin{eqnarray*} f: K_r(z_0) \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} K_r(z_0) \end{eqnarray*}$ eine offene Kreisscheibe um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ mit Radius r sei. Zu zeigen ist: Wenn f holomorph und $\begin{eqnarray*} f(z_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(z_0)\neq0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ klein genug:
1) $\begin{eqnarray*} f(z)\neq0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in K_\varepsilon(z_0) \setminus \left\{z_0\right\} \end{eqnarray*}$ und
2) für das Integral über den Kreisrand gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{|z-z_0|=\varepsilon} \! \frac{1}{f(z)} \, dz =2\pi i\cdot\frac{1}{f'(z_0)} \end{eqnarray*}$

Ich habe dafür schon einen Lösungsvorschlag, aber insbesondere zu Teil 2) noch eine (wichtige) Frage, für jemand, der da Bescheid weiß, ist das wahrscheinlich in zwei Minuten geregelt und mir wäre dann super geholfen smile

:

1) Dafür würde ich einfach die zum Differenzenquotient äquivalente Darstellung nutzen: $\begin{eqnarray*} f(z)=f(z_0)+f'(z_0)\cdot(z-z_0)+o(|z-z_0|) \end{eqnarray*}$ , womit sich für $\begin{eqnarray*} z \in K_\varepsilon(z_0) \setminus \left\{z_0\right\}, \varepsilon \end{eqnarray*}$ klein genug die Aussage ergibt, da ja $\begin{eqnarray*} f(z_0) = 0 \end{eqnarray*}$ und somit im entsprechenden $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kreis gilt: $\begin{eqnarray*} f(z)=f'(z_0)\cdot(z-z_0)+o(|z-z_0|)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} o(|z-z_0|) \end{eqnarray*}$ schneller gegen null geht als der vordere Teil und der vordere Teil immer ungleich null ist.

2) Da habe ich erstmal beim Aufgabensteller nach einem Tipp gefragt und den Tipp erhalten, "so wie beim Beweis der Cauchyschen Integralformel für die Kreisscheibe vorzugehen" (wer die Formel gerade nicht präsent hat, siehe hier). Nunja, ich dachte mir dann, dass ich eigentlich diese Formel direkt anwenden könnte, wenn ich $\begin{eqnarray*} g(z)=\frac{1}{f'(z)} \end{eqnarray*}$ und dann die Formel auf g(z) anwende. Auf dem Kreisrand ist dann g auf jeden Fall auch differenzierbar (mit 1) und holomorphe Fkt. sind ja beliebig oft differenzierbar) und im Limes für Epsilon gegen null ergibt sich dann unter der Verwendung des Differenzenquotienten und $\begin{eqnarray*} f(z_0)=0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} g(z_o)=\frac{1}{f'(z_0)}=\frac{1}{2\pi i}\cdot \int_{|z-z_0|=\varepsilon} \! \frac{1}{f'(z)\cdot(z-z_0)} \, dz = \int_{|z-z_0|=\varepsilon} \! \frac{z-z_0}{(f(z)-f(z_0))\cdot(z-z_0)} \, dz \end{eqnarray*}$ , was äquivalent ist zu
$\begin{eqnarray*} \frac{2\pi i}{f'(z_0)} = \int_{|z-z_0|=\varepsilon} \! \frac{1}{f(z)} \, dz \end{eqnarray*}$

Nun aber meine wichtige Frage:
Einerseits: Passt das so? Und andererseits: Passt das insbesondere damit, dass ich das nun im Limes für Epsilon gegen null bewiesen hab? Eigentlich soll ich das ja beweisen für Epsilon "klein genug", oder, in anderen Worten, hinreichend klein? Meint man damit in der Regel dasselbe oder habe ich nun eine zu schwache Aussage bewiesen? Wie könnte ich gegebenenfalls das einfach nur für Epsilon kleiner als ein bestimmtes Grenz-Epsilon beweisen? Vielleicht analog zum Beweis des Cauchyschen Integralsatzes (s. Link oben) und nicht einfach unter Verwendung desselben? verwirrt

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