Bijektviität einer Abbildung beweisen

03.11.2012, 15:26	neRo5	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektviität einer Abbildung beweisen Meine Frage: Tach! Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, deswegen bitte ich um Eure Hilfe. Beweisen Sie die Bijektivität der Abbildung f: N x N -> N (N steht für Natürliche Zahl), f(m,n) := 1/2 * (m+n-2)(m+n-1)+m Meine Ideen: Ich weiß, dass eine Bijektive Abbildung genau eine Umkehrfunktion hat (also f(m,n)^-1), weil ein Element aus der Defintionsmenge genau einem Element aus der Bildmenge zugeordnet ist und umgekehrt. Bitte um Hilfe. mfg
03.11.2012, 15:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die berühmte Cantorsche Paarungsfunktion. Nimm ein kartesisches Koordinatensystem mit der $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -Achse nach rechts und der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Achse nach oben (I. Quadrant genügt). Dann bilden die Punkte $\begin{eqnarray} (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ein unendliches Punktegitter. Normalerweise, wenn du einen Punkt einzeichnen willst, malst du einen kleinen Klecks oder ein kleines Kreuz in das Koordinatensystem. Jetzt mache es so, daß du an die Stelle des Punktes im Koordinatensystem den Wert $\begin{eqnarray} f(m,n) \end{eqnarray}$ schreibst. Beim Punkt $\begin{eqnarray} (3,2) \end{eqnarray}$ schreibst du also $\begin{eqnarray} f(3,2) = 9 \end{eqnarray}$ hin. Das machst du nun für eine ganze Reihe von Punkten. Nur nicht sparen. Fällt dir auf, nach welcher geometrischen Regel sich die Zahlen $\begin{eqnarray} 1,2,3,\ldots \end{eqnarray}$ im Koordinatensystem verteilen?
03.11.2012, 16:52	neRo5	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahlen verlaufen alle diagonal und jede dieser diagonal verlaufenden Reihen fängt mit dem vorletzten Wert der vorherigen diagonalen Reihe an. [attach]26486[/attach] mfg

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