Anfänge der Integralrechnung

03.11.2012, 16:13

J4mie

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Anfänge der Integralrechnung

Guten Tag

smile

Nachdem ich das letzte Mal so tolle, hilfreiche Antworten bekommen habe, möchte ich jetzt gerne nochmal eure Hilfe in Anspruch nehmen.

Wie die Überschrift bereits sagt, geht es um Integralrechnung. Wir haben das Thema letztens erst angefangen und dann habe ich eine Stunde gefehlt. Dementsprechend habe ich nun riesige Probleme, wenn die Formel eine andere 'Form' als bei den ersten Übungsaufgaben hat.

Formeln, wie f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ x² oder f(x) = x³ + 2 bereiten mir keine Schwierigkeiten. Die Rechnung klappt wunderbar.

Ich habe gefehlt, als unser Lehrer mit Formeln wie f(x) = 2x² + 5 gerechnet hat.
Diese 2 vor dem x macht mich total kirre. Ich habe keine Ahnung, wo ich mit der hin soll.

Meine Lösungsansätze sehen folgendermaßen aus:
Funktion: f(x) = 2x² + 5
Intervall: [0;5]

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ f ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ (2* ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)² + 5)

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2* ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)² + $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ * 5)

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = 25 + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ )² * 2) * $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ((k²) * 2)

Naja und ab hier wird alles verquer, weil ich dann überhaupt nicht mehr weiß, wohin mit der 2. Ich komme dann beim Auflösen des Summenzeichens nicht zu recht.

Wäre echt super, wenn sich Jemand einen Moment Zeit nehmen würde und mir helfen könnte.

Lg J4mie

03.11.2012, 16:23

Cheftheoretiker

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RE: Anfänge der Integralrechnung
Hi,

die Formel lautet doch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f(x+k\Delta x)\cdot\Delta x \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir die Funktion Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x² + 5 \end{eqnarray*}$ in dem Intervall: $\begin{eqnarray*} [0;5] \end{eqnarray*}$

Das heißt, wir setzen erstmal unsere Angaben ein.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n 2(x+\frac{5-0}{n})^2+5)\cdot\frac{5-0}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n 2(x+k\frac{5}{n})^2+5)\cdot\frac{5}{n} \end{eqnarray*}$

Nun erstmal alles ausmultiplizieren und zusammenfassen. smile

smile

03.11.2012, 16:27

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = 25 + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ )² * 2) * $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ((k²) * 2)

Warum schreibst du die 2 nochmal in die Summe, du hattest sie doch schon rausgezogen.
Letztendlich brauchst du dann noch eine "Formel" für dein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ((k²) , also für die Summe aller Quadrate von 1 bis n.
Solch eine Formel wird dann im Unterricht meist angegeben, ansonsten kann man das auch googeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 16:37

J4mie

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Jetzt versteh ich gar nichts mehr. Wir haben das bisher so schrittweise errechnet.
Diese Formel kenne ich noch nicht o.O

03.11.2012, 16:51

J4mie

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = 25 + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ )² * 2) * $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ((k²) * 2)

Warum schreibst du die 2 nochmal in die Summe, du hattest sie doch schon rausgezogen.
Letztendlich brauchst du dann noch eine "Formel" für dein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ((k²) , also für die Summe aller Quadrate von 1 bis n.
Solch eine Formel wird dann im Unterricht meist angegeben, ansonsten kann man das auch googeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich verstehe nicht, wie ich sonst nach der Formel
$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

weiter machen soll.

Wie kriege ich denn jetzt die Summenzeichen da raus? Also ohne die 2 wäre es kein Probblem, dann weiß ich, wie ich das Auflösen muss, aber mit der 2 weiß ich einfach nicht wie.

03.11.2012, 17:15

J4mie

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Nehmen wir an die Formel würde so aussehen:
$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

(ohne die 2 halt)

Dann würde ich folgendermaßen weiterrechnen:

f(x) = 25 + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ ) * $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ k²

f(x) = 25 + $\begin{eqnarray*} \frac{5^{3}}{n^{3}} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Und das würde ich dann auflösen bis ich bei lim n -> unendlich bin...

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03.11.2012, 18:24

Bjoern1982

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Was mit der 2 ist, hatte ich bereits erwähnt.
Wenn du sie aus der Summe (korrekterweise) rausziehst, dann kannst du sie ja nicht plötzlich auch nochmal in die Summe schreiben.
Das hast du beim (5/n)² ja auch nicht getan.

Desweiteren kannst du dann z.B. im Zähler auch noch n³ (oder nach Kürzen n²) ausklammern und anschließend dein n gegen unendlich streben lassen.

03.11.2012, 18:36

J4mie

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$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

Sorry ich steh mal wieder auf dem Schlauch. Es ist (wie immer) vermutlich total einfach.

Wenn ich dir Formel habe, hab ich die 2 nicht aus der Summe rausgenommen.
Die steht doch da noch! Und dann hab ich Probleme beim Umformen.
Ich raff mal wieder überhaupt nicht, was du meinst.

03.11.2012, 18:49

Bjoern1982

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Aber im von mir zitierten Schritt darunter hattest du die 2 doch rausgezogen und gleichzeitig auch noch in der Summe gelassen.

03.11.2012, 18:59

J4mie

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Wie müsste denn der Schritt richtig aussehen?

Ich habe die 2 nicht rausgezogen sondern das 5/n durch n, damit ich nur noch das eine Summenzeichen habe. Und dann ist mir aufgefallen, dass da irgendwas verquer ist mit der Klammer und dann kam ich nicht weiter.

Und du kannst mir auch noch 100 Mal sagen, dass ich da irgendwo ne 2 rausgezogen habe und ich weiß immer noch nicht, WO du meinst.
Und selbst, wenn ich das 'gesehen' habe, könnte ich nicht weiter rechnen, weil ich nicht weiß, wie man das Summenzeichen in diesem Fall

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 2 (k)² \end{eqnarray*}$

auflöst.

03.11.2012, 19:01

J4mie

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Sorry ich meinte natürlich

[latex\sum\limits_{k=1}^n 2* (\frac{5}{n})² [/latex]

03.11.2012, 19:04

Bjoern1982

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Du scheinst echt blind zu sein, sorry wenn ich das so offen sage. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann nochmal für dich in Farbe:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ * 5n + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ 2 ( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ k)²

$\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ = 25 + $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ (( $\begin{eqnarray*} \frac{5}{n} \end{eqnarray*}$ )² * 2) * $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ((k²) * 2)

Die grüne 2 wurde richtigerweise von dir vor die Summe gezogen.
Die rote 2 steht dann falscherweise nochmal in der Summe.

Got it ?

03.11.2012, 19:09

J4mie

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Ahh, danke. Jetzt weiß ich endlich welche zwei.

Aber ich schnall noch nicht, wieso die zwei jetzt an erster Stelle richtig ist und nicht an zweiter?
Ne blind bin ich nicht, nur manchmal nen bisschen blöd! Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2012, 19:13

Bjoern1982

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Na wenn du sie einmal aus der Summe rausgezogen hast, dann ist sie ja dann auch weg da.
Du hast wie gesagt ja auch dein (5/n)² aus der Summe gezogen und da steht es auf einmal dann auch nicht mehr in der Summe.

03.11.2012, 19:22

J4mie

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Das macht Sinn
Hammer

Hammer

eigene Blödheit.
Ich hab gedacht, dass ich die zwei sowohl vor dem k als auch vor dem 5/n stehen haben muss, da die 2 vorm x steht. Oh, man, das war dumm.

Danke für deine Geduld. Jetzt bin ich schlauer smile

smile

03.11.2012, 19:31

Bjoern1982

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Freut mich, dass der Groschen gefallen ist. smile

smile

Der Rest mit dem Grenzwert klappt ?

03.11.2012, 19:45

J4mie

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Der Rest geht klar smile

smile

Es harperte ja nur an dieser blöden zwei smile

smile

Die füg ich jz an der richtigen Stelle ein, löse alles auf und rechne des denn aus.

smile

smile

Oh gott, ihr seid echt super hier Big Laugh

Big Laugh

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