surjektivität zeigen

03.11.2012, 17:28

dreyansfumf

surjektivität zeigen

Meine Frage:
hi

ich habe probleme damit surjektivität zu zeigen

mir wurde gesagt man kann das zeigen indem man zeigt, dass es ein x aus der Definitionsmenge gibt, so dass f(x)=y gilt, mit y aus der Zielmenge
also dann eben f(x)=y einsetzen und nach x auflösen

das geht doch so oder ?

in diesem konkreten fall ist die funktion:

f:R-->R, f(x)=x³-4x²-x+4

Meine Ideen:
y sei element von R (zielmenge)
-zeige dass ein x element von R (definitionsmenge) mit
f(x)=y existiert

dann eingesetzt und umgeformt
dann komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} x= \frac{y-4}{x²-4x-1} \end{eqnarray*}$
... und jetzt weiß ich nich weiter
es muss doch jetzt für jedes y gelten oder ?
aber ich hab ja rechts noch x drinne... kann ich das da irgendwie weg kriegen ?

danke

03.11.2012, 17:32

HAL 9000

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Das Auflösen von $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist nur eine Möglichkeit, die Surjektivität nachzuweisen. Im vorliegenden Fall einer kubischen Funktion ein äußerst steiniger Weg. Augenzwinkern

Da finde ich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x\to \infty} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$

in Verbindung mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen als wesentlich angenehmer.

03.11.2012, 17:34

dreyansfumf

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ok, danke

ich kann also auch zeigen dass die fkt. stetig ist
und dann hinsichtlich lim gegen +- unendlich untersuchen ?

aber das geht nur wenn sie auch stetig ist oder ?

und dann ist sie genau dann surjektiv wenn sie einmal gegen + und einmal gegen - unendlich geht ?

03.11.2012, 17:40

HAL 9000

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Zumindest greift die Argumentation mit dem ZWS nur in den Intervallen, wo die Funktion stetig ist. Abgesehen von "exotischen" Fallbeispielen sind ja praktisch alle üblicherweise betrachteten reellen Funktionen zumindest stückweise stetig, so dass das schon ein mächtiges Werkzeug ist. Augenzwinkern

03.11.2012, 17:47

dreyansfumf

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ok vielen dank
hast mir sehr geholfen

aber ich hab noch eine verständnisfrage:

wenn ich nach der methode mit dem auflösen nach x, das eben gemacht habe

dann muss ich ja erst noch erkennen ob die funktion jetzt surjektiv ist oder ?

wie genau erkenn ich das dann ?

03.11.2012, 17:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von dreyansfumf
wenn ich nach der methode mit dem auflösen nach x, das eben gemacht habe

dann muss ich ja erst noch erkennen ob die funktion jetzt surjektiv ist oder ?

wie genau erkenn ich das dann ?

Ich weiß nicht genau, worauf du hinauswillst:

Wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht im Wertebereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt, dann wird sich zwangsläufig ergeben, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ keine reelle Lösung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ besitzt.

03.11.2012, 19:24

dreyansfumf

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hi

eine letzte frage noch

und zwar wäre das in ordnung wenn ich das so aufschreiben würde,
also wäre das mathematisch korrekt dargestellt:

Polynome immer stetig => f(x) stetig

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) \to \infty \lim_{x \to -\infty } f(x) \to -\infty \Rightarrow surjektiv \end{eqnarray*}$

danke schomma

03.11.2012, 19:32

HAL 9000

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Wenn ich solche Unsicherheit spüre, dann würde ich doch vorschlagen, du machst es dieses erste mal "gründlich", was bedeutet:

Zwischen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) = \infty \lim_{x \to -\infty } f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$

und dem Einsatz des ZWS liegt noch ein notwendiger argumentativer Zwischenschritt, denn der ZWS ist ja nicht für irgendwelche Grenzwerte definiert, sondern für Funktionswerte in endlichen Intervallen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

03.11.2012, 19:58

dreyansfumf

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mmhhh... heißt das es reicht nicht zu wissen das die funktion stetig ist um die methode mit den grenzwerten anwenden zu können um surjektivität zu zeigen ?

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