Linearisierung nichtlinearer Differentialgleichungen |
| 03.11.2012, 18:25 | Tux0346 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Linearisierung nichtlinearer Differentialgleichungen Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit dem Linearisieren von nichtlinearen Differentialgleichungen in einem bestimmten Arbeitspunkt. Das Verfahren, was dahinter steckt (Taylor-Reihenentwicklung) ist mir relativ klar, jedoch habe ich ein kleines Problem, was ich gerne anhand eines Beispiels fragen würde: Nehmen wir mal an, wir hätten die DGL (keine Ahnung ob man die lösen kann, ist aber auch nicht so wichtig) y'(u)^2+7y = 3u + 4*u' Nun kann ich mir ja eine Funktion definieren die lautet f(y',y,u,u') = y'(u)^2+7y-3u-4u' = 0 Weiter nehmen wir an, wir wollen diese Funktion im Arbeitspunkt u_0=1 und u'_0=0, y_0=3/7 und y_0'=0 betrachten. Entwickle ich diese Funktion dann in eine Taylorreihe 1. Ordnung, so erhalte ich: p_1(y,y',u,u',3/7,0,1,0)=0+7(y-1)-0*(y'-0)-3(u-1)-4(u'-0) (wenn ich mich beim bilden der partiellen Ableitungen und EInsetzen nicht vertan habe) In allen möglichen Büchern, die man so findet, wird daher gesagt, dass die vereinfachte lineare DGL daher lauten müsste 7*\Delta y = 3*\Delta u + 4*\Delta u' mit \Delta y = (y-y_0), \Delta u = (u-u_0) und \Delta u'=(u'-u'_0) Das macht für mich für den obigen Fall auch halbwegs Sinn, da hier der Anteil f(y_0,y'_0,u_0,u'_0) aus der obigen Taylerentwicklung gleich 0 ist. Doch auch in einem Beispiel wo dieser erste Summand der Taylorreihe nicht null wäre vernachlässigt man diesen beim aufstellen der DGL einfach. Ich weiß, dass es damit zusammenhängen muss, dass ich ja die DGL um den Arbeitspunkt herum haben will, aber irgendwie habe ich keine Anschauung, warum der Arbeitspunkt nichtr wieder in der DGL auftauchen muss. Meine Ideen: siehe Frage |
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