Teilbarkeit

03.11.2012, 21:29

bliblabluppp

Teilbarkeit

Meine Frage:
Die Gaussche Summenformel für Zahlen n,n-1,.....1 ist ja n(n+1)/2
Nun soll gezeigt werden, dass diese Summe immer ein Teiler von 1^k+2^k+3^3+...+n^k ist, wenn n eine positive ganze zahl ist und k eine ungerade positive...

Meine Ideen:
zuerst das ganze durch 2 teilen, dann restklassen betrachten...

03.11.2012, 21:50

Sly

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Versuche doch mal einen Induktionsbeweis nach der Variable n.

03.11.2012, 22:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sly
Versuche doch mal einen Induktionsbeweis nach der Variable n.

Ein Schuss ins Blaue, oder selbst erfolgreich durchgezogen? verwirrt

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@bliblabluppp

Vielleicht hilft dir folgendes Lemma:

Zitat:

Für beliebige ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sowie ungerade $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a^k+b^k) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (a+b) \end{eqnarray*}$ teilbar.

Und noch ein Hinweis:

Für gerade $\begin{eqnarray*} n=2m \end{eqnarray*}$ entspricht die Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} = m(2m+1) \end{eqnarray*}$ der Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sowie durch $\begin{eqnarray*} (2m+1) \end{eqnarray*}$ , da diese beiden Zahlen teilerfremd sind.

Für ungerade $\begin{eqnarray*} n=2m-1 \end{eqnarray*}$ entspricht die Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} = m(2m-1) \end{eqnarray*}$ der Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ sowie durch $\begin{eqnarray*} (2m-1) \end{eqnarray*}$ , ebenfalls wieder wegen deren Teilerfremdheit.

03.11.2012, 22:17

Sly

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Sly
Versuche doch mal einen Induktionsbeweis nach der Variable n.

Ein Schuss ins Blaue, oder selbst erfolgreich durchgezogen? verwirrt

Nein, mehr im Kopf einen voreiligen Schluss gezogen und es durch deine Skepsis bemerkt. HAL, übernehmen Sie Augenzwinkern

03.11.2012, 22:44

bliblabluppp

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Danke schonmal... steige zwar noch nciht komplett dahinter aber thx.

03.11.2012, 23:21

HAL 9000

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Da ich mich für heute verabschiede, noch ein dritter und letzter Hinweis, weil der eigentlich reichen müsste:

Für gerade $\begin{eqnarray*} n=2m \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n j^k = \sum_{j=1}^{2m} j^k = \sum_{j=1}^{m} \left( j^k+(2m+1-j)^k \right) = \sum_{j=1}^{m-1} \left( j^k+(2m-j)^k \right) + m^k + (2m)^k \end{eqnarray*}$ ,

sowie für ungerade $\begin{eqnarray*} n=2m-1 \end{eqnarray*}$ entsprechend

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n j^k = \sum_{j=1}^{2m-1} j^k = \sum_{j=1}^{m-1} \left( j^k+(2m-j)^k \right) + m^k = \sum_{j=1}^{m-1} \left( j^k+(2m-1-j)^k \right) + (2m-1)^k \end{eqnarray*}$ .

03.11.2012, 23:40

bliblabluppp

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Mag sein, dass ich dumm bin aber kann mir das nochmal jemand erklären?

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