Gleichungen der Tangenten bestimmen.

03.11.2012, 21:48

Bobsn

Gleichungen der Tangenten bestimmen.

Hallo allerseits!

Bräuchte bitte Hilfe bei folgendem Bsp:

In welchen Punkten der Ellipse $\begin{eqnarray*} 4x^2+9y^2=40 \end{eqnarray*}$ beträgt die Steigung der Tangente $\begin{eqnarray*} k=-\frac{2}{9} \end{eqnarray*}$ ? Geben Sie die Gleichungen dieser Tangente an!

Ich weiß nicht mal wie ich anfangen soll oder wie ich rechnen soll. Freue mich über jeden Tipp.

03.11.2012, 22:07

Bjoern1982

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Ich würde durch implizites ableiten und einsetzen der gegebenen Steigung zunächst mal eine Beziehung für die Koordinaten der gesuchten Punkte P(x|y) herstellen.

03.11.2012, 22:33

Bobsn

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Hallo! Ist dann die implizite Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{4x} {9y} \end{eqnarray*}$ ?

03.11.2012, 22:50

Bjoern1982

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Leider nein.
Du brauchst auch gar nichts umstellen.
Leite einfach Stück für Stück von links nach rechts ab.
Also erst 4x², dann 9y² und dann noch die 40 auf der rechten Seite.
Beachte bei 9y² die Kettenregel.

03.11.2012, 22:56

Bobsn

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Warum muss man bei $\begin{eqnarray*} 9y^2 \end{eqnarray*}$ die Kettenregel beachten?

03.11.2012, 23:23

Bobsn

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Meine obige Frage hat sich erledigt.

03.11.2012, 23:26

mYthos

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Zitat:

Original von Bobsn
Hallo! Ist dann die implizite Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{4x} {9y} \end{eqnarray*}$ ?

Meiner Ansicht nach stimmt das verwirrt

Was meinst du, Björn?

mY+

03.11.2012, 23:37

Bobsn

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Hallo!

Also war ich doch nicht am falschen Weg smile

Wie kann ich aber die Steigung da einsetzen, oder was kann ich mit dieser Formel anfangen?

04.11.2012, 00:08

mYthos

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Dir ist aber schon klar, dass du, um zu dieser Formel zu kommen, bei der impliziten Ableitung in 9y² die Kettenregel anwenden musst, ja? Es muss ja irgendwo ein y' stehen bleiben. Oder wie bist du sonst dahin gekommen?

Nun, du kannst ja dann die gegebene Steigung dort einsetzen:

$\begin{eqnarray*} - \frac {4x}{9y} = -\frac 2 9 \end{eqnarray*}$ (*)

Die zweite Gleichung ist die Ellipsengleichung.
____________

(*) Das ist nichts anderes als die Gleichung des zu der Richtung -2/9 konjugierten Durchmessers

04.11.2012, 00:23

Bobsn

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Zitat:

Original von mYthos
Dir ist aber schon klar, dass du, um zu dieser Formel zu kommen, bei der impliziten Ableitung in 9y² die Kettenregel anwenden musst, ja?

Ja mir ist das klar.

Also ist $\begin{eqnarray*} y=2x \end{eqnarray*}$ oder?

Und dann $\begin{eqnarray*} 4x^2+9*4x^2=40 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} y=\pm 2 \end{eqnarray*}$

Oder habe ich einen Fehler gemacht?

04.11.2012, 00:29

mYthos

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Japp!

(Also kein Fehler Big Laugh

)

04.11.2012, 00:34

Bobsn

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Also habe ich vier Punkte wo die Tangenten die Ellipse berührt?

Und dann einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in die Formel $\begin{eqnarray*} y=k*x+d \end{eqnarray*}$ einsetzen und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ausrechnen, also als Ergebnis 2 Tangenten?

05.11.2012, 23:24

mYthos

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Zitat:

Original von Bobsn
smile

Also habe ich vier Punkte wo die Tangenten die Ellipse berührt?
...

Nein, es sind deren nur zwei! Denn es gibt zwei (zueinander parallele) Tangenten und jede hat mit der Ellipse doch nur einen Berührungspunkt (!).
[Für die Koordinaten der beiden Punkte ist die lineare Gleichung y = 2x zu betrachten! Das ist der zu der Richtung der Tangenten konjugierte Durchmesser, dessen Endpunkte die beiden Berührungspunkte sind.]

mY+

05.11.2012, 23:51

Bobsn

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Vielen Dank für die Hilfe!!

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