epsilonbedingung Intervall |
| 03.11.2012, 22:56 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| epsilonbedingung Intervall a_n = ( 1+ 1/n )^n b_n= ( 1 + 1/n)^(n+1) ich habe banale spielchem mit der summe gemacht, aber wirklich weiter komme ich nicht. ( 1 + 1/n)^n (1+ 1/n -1 )<epslion aber naja das bringt ja wohl niemand weiter oder |
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| 03.11.2012, 22:59 | fleurita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: epsilonbedingung Intervall was möchstest du denn? |
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| 03.11.2012, 23:01 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: epsilonbedingung Intervall ich dachte das reicht so schon, aber ich muss intervallschachtelung nachweisen von | I_n | := [a_n ; b_n] |
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| 03.11.2012, 23:52 | fleurita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: epsilonbedingung Intervall Ich weiß immer noch nicht ganz um was es geht. Willst du das hier zeigen: ? Wenn ja, dann dürfte das so gehen: |
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| 03.11.2012, 23:55 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: epsilonbedingung Intervall hm für alle epsilon >0 existiert eine zahl N e |N : | I_n| = b_n - a_n <epsilon für alle n >= N , d.h. länger der intervalle geht gegen 0 für n e |N wird a_n und b_n definiert....(siehe oben) |
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| 04.11.2012, 00:02 | fleurita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: epsilonbedingung Intervall jaaaa das lässt mich als helferin bzw. uns immer noch ziemlich im unklaren. Wenn du nachweisen willst, dass es eine intervallschachterlung ist, dann kannst du das eben von dir erwähnte kriterium auf meinen ansatz hier anwenden: Du musst diesen rechenausdruck durch umformen, abschätzen usw. eben dazu bringen, dass du so ein findest. |
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| 04.11.2012, 01:57 | Fragen über Fragen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit hat er hier eigentlich schon begonnen. Du musst z.B. durch Umformung mit dem binomischen Satz die Beschränktheit von (1+1/n)^n zeigen, und das multipliziert mit dem 1/n aus deiner zweiten Klammer liefert dann die Konvergenz gegen 0 bzw. es lässt sich ein N angeben. Falls du noch den kompletten Nachweis, dass die a_n,b_n eine Intervallschachtelung bilden, brauchst: das folgt aus dem streng monotonen Wachsen bzw. Fallen der a_n bzw. b_n. |
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| 04.11.2012, 01:59 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
den teil habe ich schon, nur das mit dem intervall noch nicht, ich schaus mir mal an |
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| 04.11.2012, 02:14 | Fragen über Fragen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso wenn du benutzen darfst, dass die b_n monoton fallen, dann gilt wegen a_n < b_n für alle natürlichen n auch a_n < b_1=4 und damit hast du ja schon eine obere Schranke von (1+1/n)^n . Als untere Schranke kann man 1 nehmen. Also musst du jetzt bloß noch den Ausdruck c/n mit c e [1,4] kleiner als Epsilon kriegen. |
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| 04.11.2012, 04:03 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die obereschranke ist ein supremum und gleichzeitig ein maximum oder? auf den wert eins kommst du wenn du für n gegen unendlich gehst oder? dann nähert sich das ganze der eins, erreichtes aber natürlich nicht , also kein infimum. was genau bedeutet/interpretiert (intervall) c? was bedeutet c/n? und noch was, wieso muss ich vorher die monotonie zeigen? wieso gilt erst nach dem beweis der monotonie "a_n < b_n für alle natürlichen n auch a_n < b_1=4" ? |
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| 04.11.2012, 13:23 | Fragen über Fragen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die Konvergenz von 1/n gegen 0 mit dem N-Epsilon-Schema beweisen sollst geht das ganz einfach. Die Konvergenz von c/n, wobei c eine endliche Konstante ist (z.B. 4) ist auch ganz einfach. Hier steht (1+1/n)^n / n und der Wertebereich von (1+1/n)^n lässt sich eingrenzen: grob abgeschätzt ist der Wertebereich im Intervall [1,4] enthalten. Das ist alles, was man für die Konvergenz wissen muss: |(1+1/n)^n / n| < 4/n und auf 4/n kann man leicht das N-Epsilon-Schema anwenden. Eine untere Schranke bräuchte man auch bloß, wenn man noch nichts über die Monotonie der a_n wüsste (die obere Schranke 4 nützt einem ja sonst gar nichts, falls die a_n nach minus unendlich divergieren 
) - ich habe sie im letzten Beitrag nur der Vollständigkeit halber angegeben.Wie gut diese Schranken sind, spielt für die Konvergenz von (1+1/n)^n / n auch gar keine Rolle. Man kann die untere Schranke 1 auch verbessern: das Minimum von (1+1/n)^n , welches auch zugleich Infimum ist, ist gleich 2. Und das Supremum ist die eulersche Zahl, aber hier reicht aus, dass man grob als eine obere Schranke 4 angeben kann.
Na wenn z.B. die a_n monoton wachsen und auch die b_n monoton wachsen, so können die a_n ja b_1 überholen, auch wenn weiterhin a_n<b_n gilt ; und damit kann man nicht mehr b_1 als obere Schranke für die a_n nehmen. |
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| 04.11.2012, 22:53 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
meinst du mit c diese eine zahl "N" element |N wie sieh nach meinerdefinition lautet? |
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| 05.11.2012, 00:32 | Fragen über Fragen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, vergiss lieber das c, das habe ich bloß salopp als Hilfe hingeschrieben (um dir die Analogie von c/n zu 1/n vor Augen zu führen), es hat aber genau das Gegenteil bewirkt ^^ Man braucht es nicht und es ist wenn man so will auch falsch. Wichtig ist eben nur folgendes Resultat, wie oben beschrieben: |(1+1/n)^n / n| < 4/n . Für 4/n ist die Konvergenz gegen 0 leicht zu zeigen. |
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