Taylorentwicklung

03.11.2012, 23:41

Anahita

Taylorentwicklung

Hi

Ich möchte für die folgenden zwei Funktionen die Taylorentwicklung um den Punkt 0 bestimmen:

1) f(x) = e^x^2

2) $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$

Für 1 (sorry, ich weiss nicht wie man zweifach-Potenzen in LaTeX eingibt!)

erhalte ich für die erste Ableitung:

2x*e^x^2 und für die zweite Ableitung erhalte ich 2e^x^2(1+2x^2) und damit für die Entwicklung der ersten zwei Glieder jeweils 0?! Stimmt das?

Für 2) Hat mich an die geometrische Reihe erinnert. Wenn ich den Bruch aber mit 1/x erweitere, habe ich kein Minus im Nenner, sondern immer noch ein Plus. Oder stimmt die Idee mit geometrischer Reihe sowieso nicht?

Danke!

03.11.2012, 23:46

Cheftheoretiker

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RE: Taylorentwicklung
Hi,

zu der ersten Funktion,

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$ nun ist $\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Nun musst du nur etwas die Reihe ändern, dann hast du die Potenzreihe dazu. smile

04.11.2012, 00:08

Anahita

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hah, ich hab rausgefunden wie man doppelte potenzen text. wahrscheinlich werd ich das ja so oft brauchen ^^

wie dem auch sei, wäre dann die taylorreihe die Folgende?:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{2^k}}{k!} \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 00:13

Cheftheoretiker

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Nicht ganz, sondern $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

04.11.2012, 00:30

Anahita

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damn. wenigstens weiss ich jetzt trotzdem, wie man doppelte potenzen text^^

Spass beiseite: warum ist es denn 2k? Ich hab ja einfach x mit x^2 substituiert..

Und was ist dann mit der zweiten Funktion?

Lg

04.11.2012, 00:37

Cheftheoretiker

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Wenn du in $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ deine $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ einsetzt erhälst du $\begin{eqnarray*} (x^2)^k \end{eqnarray*}$ und das ist nach den Potenzgesetzen $\begin{eqnarray*} x^{2k} \end{eqnarray*}$ smile

Bei der zweiten Funktion würde mir jetzt auch auf Anhieb keine Reihe einfallen auf die wir den Ausdruck zurückführen können. Da bleibt wohl nur der Weg über die Entwicklung in einer Taylorreihe. D.h. bilde ein paar Ableitungen und schau ob du eine Gesetzmäßigkeit erkennst. smile

04.11.2012, 00:44

Anahita

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ja, klar..sorry >_>

ich glaube die Entwicklung für die zweite Funktion um den Punkt x = 0 lautet:

x - x^2 + x^3 - x^4 + x^5 -O(x^6)

..aber ich muss es nochmals überprüfen, bin nicht ganz sicher.

04.11.2012, 01:00

Dopap

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Zitat:

Original von Anahita

x - x^2 + x^3 - x^4 + x^5 -O(x^6)

das Negative und dann 1 dazu. Wegen

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1+x} = \frac 1 {1-(-x)} \end{eqnarray*}$ , mit bekannter Entwicklung...

04.11.2012, 01:08

Anahita

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ahhh..also doch einfach so...ich war irgendwie plötzlich nicht mehr sicher & habs gelassen weiter drüber nachzudenken. Super vielen, vielen Dank!

Ich hab noch eine letzte Frage, ich hänge es an, weil es mich schon immer interessiert hat und mit dem Thema zusammenhängt:

Wenn jetzt ein Polynom gesucht ist mit z.B.: p(2) = 1, p'(2) =-3, p''(2) = 0, p'''(2) = 2, p''''(2) = -4

berechne ich das einfach, in dem ich "2" in den entsprechenden Term der Taylorentwicklung einsetze? Und nennt man das dann Interpolation?

Vielen Dank

04.11.2012, 01:30

Dopap

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das geht schon, man nennt das dann wohl Verschiebung im Entwicklungspunkt.

$\begin{eqnarray*} p(x)= 2 -3(x-2) +2 \frac 1 {3!} (x-2)^3 -4 \frac 1 {4!} (x-2)^4 \end{eqnarray*}$

eine Interpolation würde ich das nicht nennen, denn dabei sind nur Funktionswerte vorgesehen.

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EDIT: der erste Summand ist falsch!

04.11.2012, 01:35

Anahita

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Super, besten Dank!

04.11.2012, 15:51

Anahita

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Dopap, ist das erste Glied nicht eine 1?

06.11.2012, 01:26

Dopap

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wenn du es verstanden hast ist die Antwort klar.

Schreibfehler o.Ä. treten übrigens gar nicht soo selten auf.