Lineare Unabhängigkeit von n-tupeln von Funktionen

04.11.2012, 11:18

Staubfrei

Lineare Unabhängigkeit von n-tupeln von Funktionen

Die Angabe lautet: Für $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f_{a} \in \mathbb F(\mathbb R, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} f_{a} = \begin{cases} 0 \ \text {falls} \ x<a, \\ x \ \text {falls} \ x \geq a.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass jedes n-tupel $\begin{eqnarray*} (f_{a_{1}}, ... , f_{a_{n}}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{1} < a_{2} < ... < a_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist.

Leider verstehe ich überhaupt nicht, wie ich Funktionen als Elemtente eines Vektorraums behandeln kann.

04.11.2012, 12:16

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Leider verstehe ich überhaupt nicht, wie ich Funktionen als Elemtente eines Vektorraums behandeln kann.

Na offenbar gibt es doch die Operationen + mit

$\begin{eqnarray*} (f_a + f_b)(x) = f_a(x) + f_b(x) \end{eqnarray*}$ (punktweise addition)

und

$\begin{eqnarray*} (\lambda f_a)(x) = \lambda f_a(x) \end{eqnarray*}$ (multiplikation)

Damit haben wir doch schon alles was wir für einen Vektorraum brauchen. Damit kann man schon die Vektorraumaxiome nachweisen. Aber das wollen wir ja nicht. Nehmen wir an wir haben ein n-Tupel

$\begin{eqnarray*} (f_{a_1},...,f_{a_n}) \end{eqnarray*}$

dann ist dieses n-Tupel genau dann linear unabhängig wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i f_{a_i}(x) = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 ~ i \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$

so wie üblich.

04.11.2012, 12:20

Staubfrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung!

Aber wie zeige ich die lineare Unabhängigkeit in diesem Fall?

04.11.2012, 12:30

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das wesentliche ist dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i f_{a_i}(x) = 0 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Die Lambdas ändern sich nicht. Wenn Du also für bestimmte x-Werte zeigen kannst, dass bestimmte Lambdas schon gleich 0 sein müssen, dann kannst Du sich so an den "x-en entlanghangeln" bis Du alles Lambdas = 0 gezeigt hast.

04.11.2012, 12:49

Staubfrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich beginne mit $\begin{eqnarray*} x:=a_{1} \end{eqnarray*}$ , dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f_{a_{i}}(x) = \lambda_{1} f_{a_{1}}(a_{1}) + \lambda_{2} f_{a_{2}}(a_{2}) + ... + \lambda_{n} f_{a_{n}}(a_{n}) = \lambda_{1} a_{1} + 0 + ... + 0 \end{eqnarray*}$ ,

und daher $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich setze also der Reihe nach $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \end{eqnarray*}$ ein und bekomme der Reihe nach $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ . Da ich aber nicht n-mal das ganze anschreiben kann, bietet sich hier vielleicht ein Induktionsbeweis an?

04.11.2012, 13:01

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

und daher $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Sehr gut!

Zitat:

Da ich aber nicht n-mal das ganze anschreiben kann, bietet sich hier vielleicht ein Induktionsbeweis an?

Das Problem dabei ist dass man dann ordentlich formulieren muss was man zeigen will. Betrachtet man lineare Unabhängig , dann ist das hinzunehmen von Vektoren (n -> n+1) nicht unbedingt einfach. Etwa können n Vektoren linear Unabhängig sein, aber n + 1 nicht mehr (was hier natürlich nicht der Fall ist, aber der Induktionsschritt kann schwierig werden). Aber grundsätzlich sollte es funktionieren.

04.11.2012, 13:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es lauert noch eine kleine Falle, falls ein $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ ist - was aber kein Beinbruch ist, man muss dann eben ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen, was "etwa" größer ist als $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ .

04.11.2012, 13:26

Staubfrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
Das Problem dabei ist dass man dann ordentlich formulieren muss was man zeigen will.

Die Formulierung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} f_{a_{i}}(a_{j}) = 0 \end{eqnarray*}$ ist wahrscheinlich Unsinn, oder?

Zitat:

Original von HAL 9000
Es lauert noch eine kleine Falle, falls ein $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ ist - was aber kein Beinbruch ist, man muss dann eben ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen, was "etwa" größer ist als $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ .

Den Fall $\begin{eqnarray*} a_{k}=0 \end{eqnarray*}$ hatte ich auch schon im Hinterkopf.

04.11.2012, 13:33

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis HAL 9000.

Zitat:

Die Formulierung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} f_{a_{i}}(a_{j}) = 0 \end{eqnarray*}$ ist wahrscheinlich Unsinn, oder?

Ich sehe zumindest nicht, wie dich das weiter bringen sollte. Ich würde folgendes zeigen.

Es gelte $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i f_{a_i}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und weiterhin seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_k = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq k < n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1} = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Diese Aussage ist leicht zu beweisen und wenn man dann zeigt, dass für alle n $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, folgt die lineare Unabhängigkeit.

04.11.2012, 14:29

Staubfrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Also um die erste Aussage zu beweisen, zeige ich zunächst die Aussage für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ mache dann den Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} k \rightarrow k + 1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ wähle, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 0 + \lambda_{2} f_{a_{2}}(x) + ... + \lambda_{n} f_{a_{n}}(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann wie vorhin einfach ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählen, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss? Also für $\begin{eqnarray*} a_{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x = a_{2} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} a_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a_2 < x< a_3 \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2012, 14:45

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kannst Du so machen. Aber für den Beweis der ersten Aussage brauchts keine Induktion. Wenn

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 .... \lambda_k = 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist natürlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\lambda_i f_{a_i}(x) = \sum_{i=k+1}^n\lambda_i f_{a_i}(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Setze jetzt $\begin{eqnarray*} x = a_{k+1} \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ansonsten wähle $\begin{eqnarray*} x = a_{k+1} + \epsilon \end{eqnarray*}$ für geeignetes Epsilon) , dann folgt dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Aussage bewiesen Augenzwinkern

04.11.2012, 15:16

Staubfrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Ich glaube, so langsam hab ichs verstanden. Big Laugh

Die zweite Aussage beweise ich aber dann durch Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , wobei ich $\begin{eqnarray*} x=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ beziehungsweise $\begin{eqnarray*} x=a_{n+1}+ \epsilon \end{eqnarray*}$ wähle?

04.11.2012, 19:47

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Aussage ist $\begin{eqnarray*} \lambda_{k+1} = 0 \end{eqnarray*}$ und die wurde oben bewiesen. Jetzt ist nur noch zu ziegen, dass für alle n $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, aber das hast Du auch schon gemacht. Du musst jdas jetzt nur noch zusammenbauen.

04.11.2012, 21:24

Staubfrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Vielen Dank für deine Erklärungen, du hast mir wirklich sehr geholfen! Gott

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Unabhängigkeit von n-tupeln von Funktionen

Verwandte Themen