Lipschitzstetigkeit |
| 04.11.2012, 11:26 | leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lipschitzstetigkeit auf ganz Hintergrund: Soll die eindeutige Lösbarkeit von für alle AWPs auf ganz gezeigt werden. |
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| 04.11.2012, 12:16 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lipschitzstetigkeit Bist du sicher, dass auf ganz überhaupt Lipschitz-stetig ist? Ich glaube nicht. (Meintest du vielleicht lokal Lipschitz-stetig?) Das kann man doch schon daran sehen, dass der Cos-Term immer zwischen 0 und 1 verläuft, mit konstanter Periode, während der Exp-Term über alle Grenzen geht. Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 14:08 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die lokale Lipschitzstetigketi genügt. Aber wie? |
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| 04.11.2012, 14:15 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gibt es Funktionen, die überall differenzierbar sind aber nicht lokal Lipschitz-stetig? Deine Funktion ist auf ganz differenzierbar. Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 14:20 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein solcher Zusammenhang war mir bisher nicht bekannt. Nichtdestotrotz interesssiert es mich, wie man direkt die lokale Lipschitzstetigkeit zeigt. |
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| 04.11.2012, 15:57 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, gibt es!!! |
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| 04.11.2012, 16:12 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm, welche? Mir fällt gerade keine ein. Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:17 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehe unten, hier stand Schwachsinn. |
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| 04.11.2012, 16:25 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dabei hatte ich aber schon vorausgesetzt, dass sie überall differenzbar sein soll. Dass es lokal Lipschitz-stetige, nicht differenzierbare Funktionen gibt ist klar, sogar Lipschitz-stetige, z.B. . Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:29 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich Idiot, die Behauptung ist doch falsch. Als ich gerade nach einem Beweis gesucht habe, habe ich darin einen Fehler gemacht. Ein Gegenbeispiel ist |
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| 04.11.2012, 16:34 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber die Funktion ist doch lokal Lipschitz-stetig im Punkt 0 
Oders seh ich das falsch?Dies kann man doch schon daran sehen, dass |f| von majorisiert wird. Edit: OK, das ist quatsch, das mit der Majorisierung reicht nicht als Bedingung Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin mir jetzt absolut nicht sicher, aber ich schätze, die lokale Lipschitz-Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion genau dann folgt, wenn die erste Ableitung beschränkt ist – in dem Sinne, dass beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abgebildet werden. |
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| 04.11.2012, 16:38 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, dass ist der Fehler, der mir auch in dem Beweis unterlaufen ist, den ich grade gemacht habe. Es gibt kein Lipschitz-stetig im Punkt 0!!! Lipschitz-Stetigkeit ist immer eine Eigenschaft auf einer Menge und niemals punktweise definiert. |
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| 04.11.2012, 16:42 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Ableitung (lokal) beschränkt ist, dann ist die Funktion (lokal) Lipschitz-stetig. Ob die Umkehrung auch gilt, weiß ich nicht sicher. Hört sich zwar zuerst mal plausibel an, ich bin da aber vorsichtig geworden. |
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| 04.11.2012, 16:45 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stimmt. Und die erste Ableitung deiner Funktion ist nicht beschränkt in einer Umgebung von 0. Alles klar. Nun denn, aber das ursprüngliche Problem betraf ja eine gutartige Funktion und für die gilt meine Aussage (wobei ich gutartig hier nicht präzisieren möchte). Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:46 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Che das stimmt vermutlich, hab da aber jetzt auch keinen Beweis parat. Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:50 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber es gilt doch die Behauptung, wenn eine Funktion stetig differenzierbar ist, dann ist sie lokal Lipschitz-stetig, oder? Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, da bin ich mir schon sicherer. Stetige Funktionen sind ja auch (lokal) beschränkt, das passt auch. |
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| 04.11.2012, 16:54 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und die Funktion des eigentlichen Problems ist stetig differenzierbar. Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 16:57 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte, du wolltest "gutartig" hier nicht präzisieren 
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| 04.11.2012, 16:59 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz genau das. Das folgt im wesentlichen aus einem Ana1 Satz, dessen Name mir gerade nicht einfällt. Die Aussage ist, dass man für eine differenzierbare Funktion stets ein findet mit . Das einfache Argument ist hier aber, dass die Funktion nicht "nur" differenzierbar, sondern stetig differenzierbar ist. Lokal sind alle solche Lipschitz-stetig, da die Ableitung auf einem kompakten Intervall wegen Stetigkeit beschränkt ist. Auf einem abgeschlossenen Intervall für in liefert einem der Wert eine Lipschitz-Konstante. Das sieht man sofort an diesem Ana1 Satz. |
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| 04.11.2012, 17:08 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, das musste sein
. Aber, ich hab's ja nicht bewiesen!Gruß Peter |
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| 04.11.2012, 17:46 | Leopard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Zusammenhang zwischen stetig differenzierbar und lokal Lipschitzstetig siehe <//de.wikibooks.org/wiki/ Aufgabensammlung_Mathematik:_Stetig_differenzierbare_Funktionen_sind_lokal_ Lipschitz-stetig> Vielleicht kann mir ja doch jemand sagen, wie sich explizit, falls man den o.a. Zusammenhang nicht kennt, die Lipschitzstetigkeit überprüfen lässt |
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