Nachweis Vektorprodukt=Flächeninhalt Parallelogramm

04.11.2012, 13:44	jessi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis Vektorprodukt=Flächeninhalt Parallelogramm Meine Frage: Ich soll nachweisen, dass das Vektorprodukt den Flächeninhalt eines Parallelogramms beschreibt. Ich habe im Internet eine ganz gute Erklärunge gefunden, nur leider habe ich einen Schritt nicht verstanden. Ich muss das morgen vortragen! Bitte helft mir!! Meine Ideen: $\begin{eqnarray} A=\sqrt[]{(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} \cdot cos \gamma}<br /> A=\sqrt[]{(\vec{a} \cdot \vec{a})\cdot (\vec{b} \cdot \vec{b}) - (\vec{a}\cdot \vec{b})^2} \end{eqnarray}$ Wieso kann man denn da das cos einfach weglassen?
04.11.2012, 16:36	Stefan_TM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis Vektorprodukt=Flächeninhalt Parallelogramm Hallo Jessi, $\begin{eqnarray} A= \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|* sin(\phi)= \|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \sqrt{1-cos^{2}(\phi) } =<br /> <br /> \|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \sqrt{1-(\frac{\vec{a}* \vec{b}}{\|a\|\|b\|} )^{2}}<br /> =\sqrt{(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|) ^{2} - (\vec{a}\vec{b} )^{2}} \end{eqnarray}$ Jetzt hast du noch die folgende Identität zu beweisen: \|c\|=A $\begin{eqnarray} \vec{c}= \vec{a} \otimes \vec{b} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nimm die Deefinition des Kreuzprodukt-Vektors c, nimm seinen Betrag \|c\| und vergleiche mit dem Wert von A (Flächeninhalt des Parallelogramms); \|a\|= Betrag des Vektors, a*b (mit Vektorzeichen)= Skalarprodukt von a und b

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