Gleichmächtigkeit zw. geschlossenes und halboffenes Intervall

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04.11.2012, 13:50	Purzelbaum12	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtigkeit zw. geschlossenes und halboffenes Intervall Es soll gezeigt werden, dass das Intervall [0,1] gleichmächtig zum Intervall [0,1) ist. naja eigentlich ist das ja schon klar, immerhin gibt es zwischen beiden Intervallen unendlich viele reelle Zahlen, unabhängig davon, ob die 1 bei einem der Intervallen enthalten ist oder nicht.. Aber wie kann man das beweisen? Wäre für Hilfe dankbar
04.11.2012, 14:02	lala99	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es schaffst, eine Bijektion ( bijektive Abbildung ) zwischen den beiden Mengen anzugeben, hast du die Gleichmächtigkeit gezeigt.
04.11.2012, 14:09	Purzelbaum12	Auf diesen Beitrag antworten »
Da würde ich das ja normalerweise so machen: Die 0 von einem Intervall wird der 0 zum anderen zugegeordnet, die 0,1 wird der anderen 0,1 zugeordnet.. etc... allerdings ist die 1 bei einem Intervall ja nicht erhalten :S
04.11.2012, 14:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst keine stetige Bijektion finden, da eine solche das abgeschlossene Intervall [0,1] zwangsläufig in ein anderes abgeschlossenes Intervall abbildet. Also muss es etwas "exotischer" werden.
04.11.2012, 14:30	Purzelbaum12	Auf diesen Beitrag antworten »
AH ich komm nicht drauf, kannst du mir vielleicht nen Tipp geben? Grundsätzlich würde ich versuchen beide Intervalle auf die Gerade f(x) = x abzubilden ...:S
04.11.2012, 14:31	lala99	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Thema wurde auch hier schon im Matheboard diskutiert. Ich kann als Gast kein Link posten. Wenn du google benutzt, solltest du des finden können.
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04.11.2012, 15:03	Purzelbaum12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe lange gesucht, aber nichts im Forum gefunden, wo eine Aufgabe mit geschlossenen und halb offenen Intervall behandelt wurde :/ Wenn darum geht eine Bijektion zw. zwei geschlossenen Intervallen zu finden, ist es ja ganz einfach, aber soo :S
04.11.2012, 15:23	lala99	Auf diesen Beitrag antworten »
matheboard.de/archive/458261/1/thread.html
04.11.2012, 16:17	Purzelbaum12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ne andere Frage muss die Abbildung von [0,1] nach [0,1) so erfolgen, dass das zweite Intervall vollständig abgedeckt wird? oder könnte man z.B auch eine solche Abbildung definieren: Eine Abbildung von f: [0,1] -> [0,3/4] zum Beispiel. [0,3/4] ist ja auf jeden Fall eine Teilmenge von [0,1)
04.11.2012, 18:06	lala99	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss "vollständig abgedeckt" sein. Das ist die Eigenschaft der Surjektivität. Eine bijektive Abbildung ist injektiv und surjektiv. Surjektiv bedeutet eben, dass für jedes Element $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ des Wertebereichs (mind.) ein Element $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ des Definitionsbereichs existiert, sodass $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ gilt. Injektivität bedeutet, dass dieses Element eindeutig bestimmt ist, also aus $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ . Es reicht also nicht aus, wenn du nur für eine Teilmenge eine bij. Fkt angibst.
04.11.2012, 22:29	Purzelbaum12	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, wie man Bijektivität an einer Abbildung nachweist ist mir ja klar. Nur muss ich ja erstmal ne entsprechende Abbildung finden Kann mir da keiner helfen ? Habe absolut keine Idee
05.11.2012, 09:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Gleichmächtigkeit zweier Mengen A und B mit dem Satz von Cantor-Bernstein nachweisen willst, musst du keine bijektive Abbildung zwischen A und B finden. Es genügt eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} f: A \rightarrow B \end{eqnarray}$ und eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} g: B \rightarrow A \end{eqnarray}$ zu finden. Die Abbildungen f und g müssen nicht surjektiv sein, sonst wären es ja Bijektionen. Solche Abbildungen kannst du für deine Intervalle leicht finden. Eine Bijektion ist aber auch leicht zu finden. Sei $\begin{eqnarray} C_1=\{x: \, x=1/n, \, n \in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C_2=\{x: \, x=1/(n+1), \, n \in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} [0, 1] \backslash C_1=[0, 1) \backslash C_2 \end{eqnarray}$ . Die beiden Teilmengen sind also trivial bijektiv aufeinandenr abbildbar. Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ abbilden.

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