Konvergenz von Folgen

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04.11.2012, 14:49	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen Meine Frage: Aufgabe: a) Untersuchen Sie die Folgen ( $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ bis ( $\begin{eqnarray} d_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \frac{n³-7}{n+3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+8}(\frac{n(n+1)}{2}-1)-\frac{n}{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d_{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} (-1)^{n}(\frac{n²+3n+2}{n+1}-\sqrt[]{n²+4n} \end{eqnarray}$ b) Die Folge ( $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ sei rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} e_{0} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} e_{n+1} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \sqrt[]{1+e_{n}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie ( $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist konvergent und bestimmen Sie den Grenzwert (Hinweis: zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ monoton und beschränkt ist). Meine Ideen: a) Ich habe für $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ jetzt zuerst einmal den Grenzwert ausgerechnet, dafür habe ich $\begin{eqnarray} \frac{-7}{4} \end{eqnarray}$ ausgerechnet. Nun wollte ich mit der Formel zur Prüfung der Konvergenz ( $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 , \exists n_{0} \in n_{0} (\epsilon): \| a_{n} - a \| < \epsilon , n > n_{0} \end{eqnarray}$ ) durch Einsetzen von $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und durch Einsetzen des Grenzwertes $\begin{eqnarray} a = \frac{-7}{4} \end{eqnarray}$ überprüfen, ob Konvergenz vorliegt oder nicht. Dann bin ich auf das Ergebnis gekommen: $\begin{eqnarray} \| \frac{-7n^{4}+4n³-49}{4n^{4}+12} \| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich aber nicht, wie ich weter auflösen müsste? Und bevor ich den Rest ( $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_{n} \end{eqnarray}$ ..) ausrechnen wollte, wollte ich erstmal nachhören, ob $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ bisher richtig ist und wie ich weiter verfahren müsste. b) Hier für habe ich leider noch keine Ideen
04.11.2012, 15:52	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, sorry, bei $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ habe ich mich vertan, das müsste so lauten: $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \frac{n³-7}{n^{4}+3} \end{eqnarray}$
04.11.2012, 15:57	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn deine Rechnung zu $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ aus? $\begin{eqnarray} -\frac{7}{4} \end{eqnarray}$ ist nämlich falsch.
04.11.2012, 16:11	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Ooooh, habe meinen Fehler gesehen!! Ich habe $\begin{eqnarray} \frac{n³-7}{n^{4}+3} \end{eqnarray}$ durch das n mit der höchstens Potenz geteilt (also durch $\begin{eqnarray} n^{4} \end{eqnarray}$ ) , hatte allerdings vergessen, auch meine -7 und +3 zu teilen. Also richtig wäre: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^{4}}}{1+\frac{3}{n^{4}}} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-7}{n^{4}} \end{eqnarray}$ gegen 0 läuft und 1 gegen 1 läuft und $\begin{eqnarray} \frac{3}{n^{4}} \end{eqnarray}$ auch gegen 0 läuft, hätten wir $\begin{eqnarray} \frac{0}{1} \end{eqnarray}$ da stehen, also läuft $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ gegen 0. Müsste jetzt so stimmen oder? Gut, dann hätte man laut dem Konvergenz Kriterium $\begin{eqnarray} \| \frac{n^{3}-7}{n^{4}+3} \| < \epsilon \end{eqnarray}$ dort stehen, aber wie kann ich das weiter umformen? Oder lässt man das dann einfach so stehen? Lg
04.11.2012, 16:19	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es handelt sich um das Epsilon Kriterium. D.h. man formt dabei eigentlich nach n um und zeigt wie n gewählt werden muss das es in dem besagten Epsilon Streifen liegt. Ist das denn verlangt? Weil rein rechnerisch hast du bereits über die Anwendung der Grenzwertsätze die Konvergenz gezeigt.
04.11.2012, 16:28	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, ich müsste beides machen, da in der Aufgabenstellung steht, "Untersuchen Sie die Folgen ( $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ bis ( $\begin{eqnarray} d_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ auf Konvergenz UND bestimmen Sie ggf. den Grenzwert."
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04.11.2012, 16:32	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ist gemeint wenn die Folge konvergent ist, dann soll auch der Grenzwert angegeben werden. Die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ konvergent und zwar gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ .
04.11.2012, 16:51	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, super, danke! Also reicht es deiner Meinung nach nur den Grenzwert anzugeben? Das wäre natürlich super! Für $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n} \end{eqnarray}$ habe ich auch den Grenzwert 0 heraus bekommen. Ich habe mal $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt[]{n+1}+ \sqrt[]{n}}{\sqrt[]{n+1}+ \sqrt[]{n}} \end{eqnarray}$ gerechnet, um die dritte binomische Formel anwenden zu können. Danach habe ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt[]{n+1}+ \sqrt[]{n}} \end{eqnarray}$ gekürzt dort stehen. Wenn ich nun wieder durch das höchste teile, bekomme ich $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{1}{\sqrt{n+1}} }{1+ \frac{ \sqrt{n}} { \sqrt{n+1}}} \end{eqnarray}$ heraus. $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray}$ strebt gegen 0. 1 strebt gegen 1 und $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray}$ strebt gegen 1. also $\begin{eqnarray} \frac{0}{2} \end{eqnarray}$ , also strebt $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ gegen 0. Für $\begin{eqnarray} c_{n} \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} \frac{-7}{2} \end{eqnarray}$ raus. An der $\begin{eqnarray} d_{n} \end{eqnarray}$ sitze ich noch Stimmt denn der Grenzwert für $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{n} \end{eqnarray}$ ?
04.11.2012, 17:17	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} d_{n} \end{eqnarray}$ müsste rauskommen, dass sie nicht konvergiert. Wir haben in der Vorlesung nämlich definiert, dass $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ zwischen 1 und -1 oszilliert und somit nicht konvergiert.
04.11.2012, 17:33	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, b,c kann ich bestätigen. Allerdings $\begin{eqnarray} d_n \end{eqnarray}$ müsste ebenfalls konvergieren.
04.11.2012, 17:36	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Strebt $\begin{eqnarray} d_n \end{eqnarray}$ auch gegen 0? Der Teil in der Klammer strebt ja auf jeden Fall gegen Null, also hätte man ja nur noch $\begin{eqnarray} (-1)^{n} 0 \end{eqnarray}$ da stehen, also strebt $\begin{eqnarray} d_n \end{eqnarray*}$ gegen 0? Vielen Dank schonmal!! Und wie sieht es mit der b) aus? Hättest du da vielleicht auch irgendwelche Tipps?
04.11.2012, 17:40	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, richtig. Bei der b ist ja schon das Stichwort gegeben. Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent nach dem Satz von Weierstraß. Das heißt, zeige erstmal die Monotonie und anschließend die Beschränktkeit der rekursiven Folge.
04.11.2012, 17:49	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mich irgendwie gar nicht daran erinnern, dass wir rekursive Folgen definiert haben. Ich kann momentan nämlich leider nichts mit dem Begriff anfangen. In der Aufgabenstellung ist ja nur $\begin{eqnarray} e_{0} \end{eqnarray}$ := 0 und $\begin{eqnarray} e_{n+1} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \sqrt[]{1+e_{n}} \end{eqnarray}$ gegeben. Man soll aber zeigen, dass $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ konvergent ist.
04.11.2012, 17:59	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau am besten mal hier, dort ist es eigentlich recht gut erklärt. http://www.math-kit.de/2003/content/FO-P...itrekursiv.html So wie ich das nun aus der Aufgabe herauslese ist $\begin{eqnarray} e_0=\sqrt[]{1+e_{n}} \end{eqnarray}$ oder wie ist das mit $\begin{eqnarray} e_0,e_{n+1} \end{eqnarray}$ gemeint?
04.11.2012, 18:11	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Link! Gute Frage Also in der Aufgabenstellung ist nur vorgeben: Die Folge ( $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ sei rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} e_{0} := 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} e_{n+1} := \sqrt[]{1+e_{n}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie ( $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} {n}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist konvergent und bestimmen Sie den Grenzwert (Hinweis: zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} e_{n} \end{eqnarray}$ monoton und beschränkt ist). Ich habe jetzt gerade irgendwo im Internet ein Beispiel gesehen ( http://www.math.tugraz.at/~lichtenegger/rekfolg.pdf ), wo die so etwas ähnliches mit Beweis durch Induktion gemacht haben. Ist das die einzige Möglichkeit? Also müsste man das hier auch? :/
04.11.2012, 18:17	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch eine ganz andere Aussage mit $\begin{eqnarray} e_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_{n+1}=\sqrt{1+e_n} \end{eqnarray}$ Ich würde es auch per Induktion machen. D.h. wir zeigen das die rekursive Folge streng monoton ist. I.A. $\begin{eqnarray} e_n=e_0=0<\sqrt{1+0}=e_{0+1} \end{eqnarray}$ Der I.A. ist schonmal geglückt. Nun weiter.
04.11.2012, 18:40	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, wir haben den Beweis der vollständigen Induktion bisher nur mit Summen gemacht. Deswegen stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und weiß nicht so ganz wie weiter :/ ich hättte noch nicht mal eine Idee was meine I.Voraussetzung wäre. Und woher weiß ich, ob die Folge monoton fallend oder monoton steigend ist? Also da laut I.A. $\begin{eqnarray} e_0<e_1 \end{eqnarray}$ müsste man doch davon ausgehen, dass die Folge steigend ist oder? Aber woher weiß ich zusätzlich noch, ob streng monoton steigend oder nur monoton steigend? Ja, wir haben Monotonie definiert, von wegen wenn $\begin{eqnarray} m > n \end{eqnarray}$ usw, aber damit kann ich hier in dem Zusammenhand leider nicht sooo viel anfangen ..Ich habe eben einfach mal ein paar Folgeglieder ausgerechnet und bin darauf gekommen, dass die Folge ungefähr zwischen 0 und 2 beschränkt ist..
04.11.2012, 18:44	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst doch zeigen das sie streng monoton steigend ist. Man sieht es aber auch schon das sie streng monoton steigend sein muss. Du hast ja bisher in dem I.A. nur gezeigt das $\begin{eqnarray} e_n<e_{n+1} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ist. Nun der I.S. Also, $\begin{eqnarray} x_{n+1}<x_{n+2} \end{eqnarray}$
04.11.2012, 19:17	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} e_{n+1} < e_{n+2} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} e_{n+1} = \sqrt{1+e_n} < e_{n+2} = \sqrt{1+e_{n+1}} = \sqrt{1+ \sqrt{1+e_n}} \end{eqnarray}$ Also gilt für $\begin{eqnarray} e_{n+1} < e_{n+2} \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} \sqrt{1+e_n} < \sqrt{1+ \sqrt{1+e_n}} \end{eqnarray}$ Wie ich das weiter umformen soll, weiß ich nicht ganz :/ Aaaaber, wenn ich das z.B.: für $\begin{eqnarray} n = 0 \end{eqnarray}$ prüfe, hätte ich ja: $\begin{eqnarray} \sqrt{1+e_0} < \sqrt{1+ \sqrt{1+e_0}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{1+1} < \sqrt{1+ \sqrt{1+1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{2} < \sqrt{1+ \sqrt{2}} \end{eqnarray}$ und das wäre eine wahre Aussage. Allerdings weiß ich, dass der Sinn des I.S. ja ist, zu zeigen, dass dies FÜR ALLE n gilt und nicht nur für ein spezielles..
04.11.2012, 19:26	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stop.. $\begin{eqnarray} e_0 = 0 \end{eqnarray}$ und nicht 1.. aaalso hätten wir dann $\begin{eqnarray} \sqrt{1+e_0} < \sqrt{1+ \sqrt{1+e_0}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{1+0} < \sqrt{1+ \sqrt{1+0}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{1} < \sqrt{1+ \sqrt{1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sqrt{1} < \sqrt{2} \end{eqnarray}$ aber stimmt dann trotzdem :P
04.11.2012, 19:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal das sollte schon reichen für den I.S. $\begin{eqnarray} e_{n+1} = \sqrt{1+e_n} < \sqrt{1+e_{n+1}}=e_{n+2} \end{eqnarray}$ Schließlich wissen wir aus dem I.A. das es ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gibt s.d. $\begin{eqnarray} e_n<e_{n+1} \end{eqnarray}$ gilt. Mal etwas anders ausgedrückt, wenn $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ dann ist auch $\begin{eqnarray} \sqrt{a}<\sqrt{b} \end{eqnarray}$ .
04.11.2012, 19:38	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Okidoki, viiiiiiiiiiielen lieben Dank!!! eine kleine letzte Frage hätte ich aber noch und dann wärst du wirklich für heute entlassen und zwar noch mal eine Kleinigkeit zur a) zu der Folge $\begin{eqnarray} d_{n} \end{eqnarray}$ da habe ich am Ende, nachdem ich alles umgeformt habe und die einzelnen Brüche aufgelöst habe, da stehen, dass $\begin{eqnarray} (-1)^n ( \frac{1}{0} - \frac{1}{0} ) \end{eqnarray}$ und wir hatten ja gesagt, dass der Teil in der Klammer gegen Null strebt, aaaaber eigentlich darf man ja nicht gegen 0 teilen. Also eigentlich wäre das doch nicht definiert oder ist das bei Grenzwerten etwas anderes, also dabei erlaubt?
04.11.2012, 20:20	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray} (-1)^n ( \frac{1}{0} - \frac{1}{0} ) \end{eqnarray}$ müsste dort nicht eher $\begin{eqnarray} (-1)^n ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n} ) \end{eqnarray}$ stehen?
04.11.2012, 20:54	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} d_{n} := (-1)^{n}(\frac{n²+3n+2}{n+1}-\sqrt{n²+4n}) \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} \sqrt{n²+4n}) \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{n²+4n}}{\sqrt{n²+4n}} \end{eqnarray}$ gerechnet um die Wurzel aus dem Zähler zu bekommen und dann habe ich $\begin{eqnarray} (-1)^{n}(\frac{n²+3n+2}{n+1}-\frac{n²+4n}{\sqrt{n²+4n}}) \end{eqnarray}$ da stehen. daaaann habe ich in der Klammer beide Terme durch n² geteilt und habe dann $\begin{eqnarray} (-1)^{n} ( \frac { 1+ \frac{3}{n} + \frac{2}{n²} } { \frac{1}{n} + \frac{1}{n²} } - \frac {1+ \frac{4}{n}} {\frac{\sqrt{n²+4n}}{n²}} \end{eqnarray}$ da stehen. wenn ich jetzt den lim anwende, habe ich $\begin{eqnarray} (-1)^n (\frac{1+0}{0} - \frac{1+0}{0}) \end{eqnarray}$ raus.. Oder habe ich irgendwo wieder einen Denk-/Rechenfehler? :/
04.11.2012, 20:57	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ausdruck in der Klammer geht dann gegen 0 und wird nicht Null, das ist ein Unterschied.
04.11.2012, 21:02	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, alles klar, stimmt. Dankeschön! Aber sonst war die Rechnung soweit richtig?
04.11.2012, 21:04	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, müsste stimmen. Wenn der Grenzwert korrekt ist, müsste eigentlich kein Fehler drin sein.
04.11.2012, 21:06	janine2602	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, daaaaaanke für deine Mühe und Geduld!

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