Beweis der Ungleichung durch vollständige Induktion

04.11.2012, 15:02

Alonushka

Beweis der Ungleichung durch vollständige Induktion

Hallo=)
ich habe hier folgende Aufgabe...
$\begin{eqnarray*} n^2 \leq 2^n \leq n! \end{eqnarray*}$ , die ich durch vollständige Induktion für $\begin{eqnarray*} n\geq4 \end{eqnarray*}$ beweisen soll...

Meine Ideen:
Induktionsanfang:
P(1): $\begin{eqnarray*} 4^2 \leq 2^4 \leq 4! \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16 \leq 16 \leq 24 \end{eqnarray*}$
P(1) ist somit wahr...
Induktionsschluss:
p(k): $\begin{eqnarray*} k^2 \leq 2^k \leq k! \end{eqnarray*}$
Indutkionsbehauptung:
P(k+1): $\begin{eqnarray*} (k+1)^2 \leq 2^(k+1) \leq (k+1)! \end{eqnarray*}$

so... weiter komme ich leider nicht ...kann mir jemand helfen?

04.11.2012, 15:10

hollisch

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fang mal rechts bei der $\begin{eqnarray*} (k+1)! \end{eqnarray*}$ an.
Es gilt $\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1)\cdot k! \geq \ldots \end{eqnarray*}$ setze hier die erste IV ein...

04.11.2012, 15:30

Alonushka

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$\begin{eqnarray*} (k+1) \cdot k!\geq 2^k \cdot 2 \geq k^2+2k+1 \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 15:30

Alonushka

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meinst du das so?

04.11.2012, 15:49

Alonushka

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und was macht man da weiter?

04.11.2012, 18:11

hollisch

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Zitat:

Original von Alonushka
$\begin{eqnarray*} (k+1) \cdot k!\geq 2^k \cdot 2 \geq k^2+2k+1 \end{eqnarray*}$

ja moment...nach Induktionsvoraussetzung (IV) weißt du, dass $\begin{eqnarray*} k!\geq 2^k \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} (k+1)k! \geq (k+1)2^k \end{eqnarray*}$ , da mit $\begin{eqnarray*} k+1>0 \end{eqnarray*}$ nach dem Anordnungsaxiom die Ungleichung weiterhin so gilt.

Wie kommst du jetzt von $\begin{eqnarray*} (k+1)2^k \end{eqnarray*}$ auf einen Ausdruck, der $\begin{eqnarray*} 2^{k+1} \end{eqnarray*}$ enthält?

05.11.2012, 13:26

Alonushka

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verstehe ich nicht...wie kommst du von $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (k+1)\cdot2^k \end{eqnarray*}$ ...
ich dachte man müsste einfach stattomatisc man ja aut k (k+1) überall einsetzen, so kommth von $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 2^(k+1) \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 16:56

hollisch

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wir gehen davon aus, dass die Induktionsvoraussetzung für ein $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wir möchten jetzt zeigen, dass die Aussage dann auch für $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1)\cdot k! \end{eqnarray*}$

Das können wir auf jeden Fall sagen. Wir wissen aus der Induktionsvoraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} k!\geq 2^k \end{eqnarray*}$ , also setzen wir ein:

$\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1)\cdot k!\geq (k+1)\cdot 2^k \end{eqnarray*}$

Ich hoffe bis hier hin hast du verstanden smile

Da $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ , ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} (k+1)\geq 2 \end{eqnarray*}$ , also setzen wir das auch ein:

$\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1)\cdot k!\geq (k+1)\cdot 2^k\geq 2\cdot 2^k=2^{k+1}\geq \ldots \end{eqnarray*}$

und so gehen wir weiter vor und benutzen die andere Induktionsvoraussetzung.

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