Binominal Lehrsatz, Anwendung

04.11.2012, 16:16	Dublediewabwab	Auf diesen Beitrag antworten »
Binominal Lehrsatz, Anwendung Meine Frage: Hallo, ich soll folgendes zeigen Für alle n gilt: $\begin{eqnarray} (1+\sqrt{3})^n + (1 - \sqrt{3})^n \end{eqnarray}$ ist eine natürliche Zahl. Ich soll hierzu den binomischen Lehrsatz verwenden. Nun habe ich einen Beweis und ich wollte fragen ob das so in Ordnung ist. Ich werde ihn kurz skizzieren. Meine Ideen: Nach dem binom. Lehrsatz kann man die Gleichung schreiben als $\begin{eqnarray} = \sum \limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (\sqrt{3})^k + \sum \limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (\sqrt{3})^k \cdot (-1)^k \end{eqnarray}$ Diese Summe kann ich noch aufteilen und zwar schreibe ich für jedes Summenzeichen zwei neue Summenzeichen; eins für gerade k und eins für ungerade k (somit habe ich insgesamt also vier Summenzeichen). Bei denn Summen mit den geraden k hebt sich die Wurzel auf und ich kann die beiden Summen zusammenfassen. Die Addition und Multiplikation ist in den natürlichen Zahlen abgeschlossen, sodass das Ergebnis demzufolge auch eine natürliche Zahl ist. Bei den beiden Summen mit k ist ungerade, kann man die -1 aus der rechten Summe ausklammern. Man sieht, dass ich so beide Summen gegenseitig aufheben. ( = 0 ) Somit ist das Gesamtergebnis eine natürliche Zahl. Ich hoffe es ist verständlich niedergeschrieben. Ansonsten muss ich es wohl leider doch mit Formeln aufschreiben. Ist das in Ordnung? Ich wollte es erst mit vollständiger Induktion machen, aber das schien mir zu aufwändig zu sein.
04.11.2012, 16:58	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
sieht gut aus
04.11.2012, 17:00	Dublediewabwab	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön! Es ist gut, dass man hier nachfragen kann, auch wenn man nur nochmal was überprüft haben will
04.11.2012, 17:05	Stefan_TM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominal Lehrsatz, Anwendung Hallo, richtig und sehr schön erklärt. Alternativ könntest du für die beiden Fällen: n= 2m (m natürliche Zahl) und n=2m+1 darstellen, wie die Termen mit Wurzel ausfallen.
04.11.2012, 17:13	Dublediewabwab	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binominal Lehrsatz, Anwendung Ja stimmt, Ist sogar noch naheliegender als meine Lösung. Danke

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