lineare Algebra 1

04.11.2012, 16:33

minnie234

lineare Algebra 1

Meine Frage:
hallo ich habe ein problem mit Abbildungen.

Sei f: A->B eine Abbildung
welche der folgenden aussagen gelten allgemein?

1) f(f^-1(B1))=B1
2) f^-1(f(A1))ist teilmenge von A1
3) A1 ist teilmenge von f^-1(f(A1))

Meine Ideen:
zu 1) habe ich bisher

f(f^-1(B1)=B1 <=>
(f°f^-1)(B1) =B1 <=>
idB (B1)= B1

theoretisch müsste diese aussage doch richtig sein weil wenn ich B1 auf sich selbst abbilde komme ich ja auf B1 aber ich weiß nicht ob das als beweis ausreicht...
außerdem habe ich ja prinzipiell mengen abgebildet (B1 ist ja Teilmenge von B) und ich weiß nicht ob das überhaupt so funktioniert...

04.11.2012, 16:51

Der Lustige Peter

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RE: lineare Algebra 1
Liebe minnie,

Die Lösung Deines Problems verbirgt sich in der Definition einer Abbildung. Schau Dir die doch nochmal an und überlege dann, was genau mit einem Element aus $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ passiert, wenn man es durch die beiden Abbildungen schickt. Ich habe zudem den Verdacht, dass Du einen Teil der Aufgabenstellung nicht aufgeführt hast, weil nicht jede Abbildung eine Umkehrabbildung hat. Das wäre auch noch wichtig.

Gruß
Peter

04.11.2012, 19:01

minnie2344

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RE: lineare Algebra 1
also eine abbildung ist ja eine relation f teilmenge des kreuzproduktes aus A und B, sodass für jedes a in A genau ein b in B existiert mit (a,b) Element von f und eine relation ist ja eine teilmenge aus eben diesem kreuzprodukt womit f bzw. f^-1 auch teilmengen sind

weiterhin ist ja definiert idM (x)=x

wenn ich also ein element aus B1 nehme und abbilde dann kommt laut definition wieder x raus also müsste das ja für alle elemente aus B1 gelten und somit für die gesamte teilmenge B1

aber wenn diese überlegung stimmt dann müssten die anderen beiden ja eigentlich falsch sein

PS: die aufgeabenstellung ist eigentlich komplett, ich hab nur vergessen hinzuschreiben, dass B1, B2 teilmengen von B und A1, A2 teilmengen von A sind...

05.11.2012, 08:47

Der Lustige Peter

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RE: lineare Algebra 1
Liebe minnie,

Tatsächlich ist eine Abbildung so definiert. Das heißt aber noch nicht, dass es eine Umkehrabbildung geben muss. Betrachtest Du etwa $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der Definitionsmenge genau ein y aus der Bildmenge. Die Umkehrabbildung gibt es aber nur in Einschränkungen, da sonst ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, was der Definition einer Abbildung widerspricht.

Falls also Deine Aufgabenstellung nicht noch mehr über die Abbildung verrät, etwa dass es sich um eine umkehrbare Abbildung handelt, ist Deine Aufgabe schon gelöst, denn dann gilt keine der Aussagen allgemein, sondern alle nur für umkehrbare Abbildungen, was Du am Beispiel $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ gut veranschaulichen kannst.

Gruß
Peter

05.11.2012, 09:03

Iorek

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RE: lineare Algebra 1

Zitat:

Original von Der Lustige Peter
Falls also Deine Aufgabenstellung nicht noch mehr über die Abbildung verrät, etwa dass es sich um eine umkehrbare Abbildung handelt, ist Deine Aufgabe schon gelöst, denn dann gilt keine der Aussagen allgemein, sondern alle nur für umkehrbare Abbildungen, was Du am Beispiel $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ gut veranschaulichen kannst.

Es ist zwar richtig, dass eine Umkehrabbildung nicht für alle Funktionen existiert. Allerdings bezeichnet $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt die Umkehrfunktion, sondern vielmehr das Urbild.

05.11.2012, 10:43

Der Lustige Peter

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RE: lineare Algebra 1
Hallo Iorek,

Wenn das der Fall sein sollte, ist es gut, dass Du Dich einschaltest. Ich verstehe aber glaube ich noch nicht ganz, was Du meinst. Wenn wir eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ haben, dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ doch als Umkehrabbildung definiert und die gibt es nicht unbedingt immer.

Gruß
Peter

05.11.2012, 11:16

Iorek

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$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ kann die Umkehrabbildung bezeichnen, naheliegender ist hier jedoch die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ als Urbildmenge.

Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ und für ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ ist das Urbild von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} f^{-1}(b):=\{a\in A~|~f(a)=b\} \end{eqnarray*}$ . Allgemeiner für Teilmengen $\begin{eqnarray*} B_1\subseteq B \end{eqnarray*}$ definiert man $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B):=\{a\in A~|~f(a)\in B\} \end{eqnarray*}$ .

05.11.2012, 11:30

Der Lustige Peter

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Hallo Iorek,

Das sehe ich ein. Die Frage von minnie bezog sich doch aber explizit auf Abbildungen.

Zitat:

Original von minnie234
Meine Frage:
hallo ich habe ein problem mit Abbildungen. Sei f: A->B eine Abbildung welche der folgenden aussagen gelten allgemein?

Dann wird mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ doch wohl die Umkehrabbildung gemeint sein, oder?

Gruß
Peter

05.11.2012, 11:41

Iorek

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Warum sollte damit unbedingt die Umkehrabbildung gemeint sein, bloß weil es sich um Abbildungen handelt? Die Urbildmenge hat doch auch etwas mit Abbildungen zu tun. Da die Funktion nicht explizit als bijektiv angegeben ist, ist die Interpretation als Umkehrabbildung überhaupt nicht sinnvoll. Die Urbildmenge kann man hingegen immer bilden, unabhängig davon ob die Funktion bijektiv ist oder nicht.

05.11.2012, 11:56

Der Lustige Peter

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Hallo, Iorek,

Ja, das ist völlig richtig. Die Urbildmenge kannst Du immer bilden, aber damit werden die Aufgaben völlig trivial.

Gruß
Peter

05.11.2012, 12:47

Iorek

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Warum sollten die Aufgaben damit völlig trivial werden? Warum ist es trivial, dass $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(B_1))=B_1 \end{eqnarray*}$ i.A. eben nicht gilt, sondern nur eine Teilmengenbeziehung? verwirrt

05.11.2012, 13:58

RavenOnJ

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@lustiger Peter
Das Urbild ist auch für Elemente aus der Zielmenge von f definiert, die nicht zur Bildmenge von f gehören. Deswegen ist das nicht trivial.

Gruß
Peter

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